怎样研究分段函数的连续性论文

函数的连续性定义1 函数f 在点x 0的某邻域内有定义，若函数f 在点x 0有极限且此极限等于该点的函数值，即lim f (x ) =f (x 0) ，则称f 在点x 0连续 x →x 0 f 在点x 0连续必须满足三个条件：（1）在点x 0的一个邻域内有定义（2）lim f (x ) 存在 x →x 0 （3）上述极限值等于函数值f (x 0) 若上述条件有一个不满足，则点x 0就是函数f 的间断点。 1、如何证明一个分段函数是连续函数首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。分段点处的左极限用左边的函数式做，分段点处的右极限用右边的函数式做。 2、多元函数在某点处的连续性如何证明没有专门的一个公式或定理,但是我可以总结几个方法给你看看. 如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样：通过夹逼法,h(x)

emmmm我换个小号来说

我是看错题了  大哥我错了QAQ

导函数因为在x=0点左右极限都不存在（Heine定理证明）所以在x=0是不连续的

献上丑字的heine定理以表歉意   对不起！！！

关于分段函数的连续性，关键在于分段点处的连续性，而判断分段点处连续性的方法就是计算其左右极限，若左右极限不相等，则函数在分段点处肯定不连续；若左右极限相等，再与分段点处的函数值比较，若极限值等于函数值，则必连续，否则不连续。在分段点处极限存在，则称为可去间断点，可以补充定义使其在分段点处连续。

分段函数在分段点处求导方法初探摘要：本文利用微分中值定理对分段函数在分段点处的导数进行了讨论，并给出了一种求导方法。关键词：分段函数，分段点，导数，微分中值定理。一、问题的提出在《微积分》教材及很多高等数学参考书中，分段函数的导数一般按下面方法来求：（1）在各个部分区间内用导数公式与运算法则求导。（2）在分段点处按导数定义求导，即求分段点处的左、右导数。而分段点处可导的充分必要条件是左、右导数存在且相等。但是，我在教学过程中经常发现：一些学生在求分段函数在分段点处的导数时，不按导数定义去求左、右导数，而是利用导函数在分段点处的左、右极限得出左、右导数。例如：设函数：讨论在分段点处的可导性时，一些学生这样来求左、右导数：而这样做得结果与按导数定义求左、右导数所得结果相同，那么这样做对不对呢？下面我们来讨论这一问题。二、问题探讨定理：设分段函数其中 ，均为初等函数，在a点右邻域可导，在点左邻域可导，在处连续，若极限 ，存在，则有：,证：因为在处连续，则当时，因在点右邻域可导，故在内可导，又为初等函数，故在上连续，从而在上满足微分中值定理的条件，由微分中值定理有：故由导数定义有：又因为，则当时，有从而可得：当时， 虽然在处无定义，但因为在处连续，则可以补充定义，令：又为初等函数，故在上连续，又在点的左邻域可导，故在上可导，从而由微分中值定理可得：完全类似地可推得：综上所述，我们有：关于该定理，我们进一步说明以下几点：1、在满足该定理条件之下，可利用该定理结论求出与，然后比较与是否相等，从而得出在处是否可导的结论。这样，就避免了用导数定义求左、右导数的麻烦。2、该定理要求在处连续。事实上，若在处不连续，由连续与可导关系知，不连续一定不可导，由此可得出在处不可导的结论。因此应用该定理结论时，应判断在处是否连续。否则，即使有，也不一定在处可导。例：虽然有，但在处不可导，因为在 处不连续。3、若与极限至少有一个不存在时，在处可能可导，也可能不可导，需用导数定义判断。例如函数：讨论在处的可导性时，由连续性定义可知在处连续，而极限不存在，并不意味着不存在，此时用导数定义求：则在处可导。4、该定理给出了分段函数只有一个分段点的情况，对于分段函数有多个分段点的情况，可完全类似得出相应的结论。三、应用举例例1、讨论函数 在处的可导性。解：故 从而在处连续由定理可知：从而有：所以在处可导。例2：讨论函数在处的可导性。解：由于则，故在处连续，由定理可知：故在处可导。例3．函数 ，确定的值，使在处可导。解：因为在处可导，则在处连续，故有：从而有： ，即 (1)又在处可导，则有从而有 (2)由（1）、（2）可得：参考文献：〔1〕李静芬，刘蒲凰 经济数学基础 西南财经大学出版社,1994

看间断点的左极限是否等于右极限是否等于间断点的函数值