幻方史研究论文

幻方又称为魔方,方阵或厅平方,它最早起源于我国.宋代数学家杨辉称之为纵横图.所谓纵横图,它是由1到n^2,这n^2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵.它具有一种厅妙的性质,在各种几何形状的表上排列适当的数字,如果对这些数字进行简单的逻辑运算时,不论采取哪一条路线,最后得到的和或积都是完全相同的.大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说.相传在远古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上天,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,作为礼物献给他,这就是“河图”,也是最早的幻方.伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦,后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”.“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个.把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到九个.这九个数就可以组成一个纵横图,人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方,除此之外,还有4阶、5阶...后来,人们经过研究,得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：S=n(n ^2+1) /2 其中n为幻方的阶数,所求的数为S.幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方.我国不仅拥用幻方的发明权,而且是对幻方进行深入研究的国家.公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中.在欧洲,直到574年,德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方.而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉伯数字) 十三世纪,东罗马帝国才对幻方产生兴趣,但却没有什么成果.直到十五世纪,住在君士坦丁堡的魔索普拉才把我国的纵横图传给了欧洲人,欧洲人认为幻方可以镇压妖魔,所以把它作为护身符,也把它叫作「Magic Square」.欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的,上面有一个四阶幻方,而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514年).这是欧洲最古老的幻方

割圆术 魏晋间人刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精密之值，创造了「割圆术」，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。 所谓圆周率，是指圆的周长与直径的比率。 在刘徽之前，中国通常采用的是「古率」，即取圆周率为3，很不精确，它实际上是圆内接正六边形周长与圆的直径之比，而不是圆的周长与直径之比。 但是，刘徽却从中得到启发：如果把圆周分割成十二等分，作出圆内接正十二边形，那么它的面积和周长就相应地比圆内接正六边形接近于圆的面积和周长，因而用圆内接正十二边形周长与圆直径之比作圆周率的近似值，就比「周三径一」精确一些。 如果进一细分，作出圆内接二十四边形，那么又可求出更精确一些的圆周率近似值。 「 割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣 」。 刘徽从圆内接正六边形开始，不断倍增图形的边数，边数愈多，多边形的面积便愈接近圆的面积，这就是刘徽所创的「割圆术」了。 刘徽从圆内接正六边形一直割到圆内接正一百十二边形，得出圆周率近似值为3．14 ，当刘徽把正多边形的边数倍增至3072时，又求得圆周率的分数值为 ，小数的近似值为3．1416 ，准确至四位小数。 后世称这个数为「徽率」。 都是当时世界第一流水平的成就。 二百多年后，祖冲之继续推算，于得出了更精确的结果： ＜圆周率＜ (祖冲之是世界上第一位把圆周率值计算准确至七位小数的人) 此外，祖冲之还给出了圆周率的两个分数值准确度较低的 (称为疏率) 准确度较高的 (称为密率) 然而，究竟祖冲之用什么方法把圆周率的值计算准确至七位小数，而他又怎样找出作为圆周率的近似分数呢?这些问题至今仍是数学史上的谜。 据数学史家们分析，他很可能采用了刘徽的「割圆术」，如果言个分析不错话，那么，祖冲之就需要从圆内接正六边形分割到圆内接正12288边形和圆内接正24576边形 ，依次求出各多边形的周长和面积。 这个计算量是相当巨大的，至少要对九位数字反覆进行130次以上各种运算，其中乘方和开方就有近50次，任何一点微小的失误，都会导致推算失败。 可知祖冲之深厚扎实的数学功底，严谨求实的科学态度。 祖冲之求得的这个圆周率值要在一千年以后才由阿拉伯数学家于1427年打破。 会圆术 是北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的杰出创造，给出了弓形的弦、矢和弧长之间的近似关系。 「会圆术」是从《九章算术》的「方田」章所载的「弧田术」的基础发展而成的，所谓「会圆术」就是已知圆直径和弓形的高（即矢），而求弓形底（即弦）和弓形弧的方法。 用「弧田术」来计算所得的近似值，不很精密，但用「会圆术」来计算，虽然也只能得到近似值，但精确多了。 沈括 出的求弧长的近似公式： 其中d 为弧所在的圆径， c 为弧田的弦， v 为弧田的矢。 重差术 《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，乃是测量城池、山高和井深之的测量问题，这种测量方法称为「重差术」。 三国时代数学家刘徽为了解释「重差术」，便撰写《重差》一卷，附在《九章算术》中《勾股》章之后，到了唐初，这一部分才被人从《九章算术》中抽出来，成为一部独立的著作。 因为它的第一题是关于测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》。 《海岛算经》第一题 今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高及去表各几何？ 此题提出望见有一个海岛，不知道它的高度和离岸距离，讨论如何量度海岛的高度和离岸距离。 刘徽给出的解法是： 立下两个高度都是h尺的标杆，两杆之间的距离是d尺，并且使这两个标杆和海岛的位置都处于一条直线上。 从前面标杆后退 a 尺，人目落地，观测杆顶和山顶在一条直线上。 再从后面的标杆后退 b 尺，人目落地，也可以观测到杆顶和山顶在一条直线上。 问海岛的高和海岛离岸距离： 海岛的高 海岛的远 由于这种计算需要两个差数，即 d 和 b - a ，故古代称为「重差术」。 解： a = 127 步， b = 127 步， h = 3 丈＝ 30 尺＝ 5 步， d = 1000 步 岛高 (1 里 = 300 步 ) 岛远 盈不足术 盈不足术，在中国数学发展史上，有着很悠久历史，是一个原始的解题方法，（现在高等数学中求方程式实根近似值的假借法就是由古代的盈不足术发展而来的），后来的数学家并不十分重视，但是它流传到中亚细亚和欧洲之后，在欧洲代数学没有发达之前，曾广泛用这方法解决代数学上的问题好几百年，所以盈不足术在世界数学史上有光荣的地位的。 《九章算术 》解这类问题的术文相当于公式： 人数： 物价： 程大位解法的歌词是： 算家欲知盈不足， 两家互乘并为物 ， 并盈、不足 为人实数（被除数）， 分率相减 余为法（除数），法除物实为物价， 法除人实人数目。 例： 今有（人）共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数物各几何？ 答曰：七人；物价五十三 解： 物价= 人数= 方程 两千年前，中国古代有一部数学名著叫《九章算术》，其中一章名叫「方程」，是讲多元一次方程组的问题，对应于现今的线性方程组（System of linear equations)，十七世纪前后，欧洲代数首次传入中国，当时译'equation'为「相等式」。 十九世纪中叶，近代西方数学再次传入中国，1859年清数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译《代数初步》，其中，'equation'的译名就是借用了中国古代的「方程」一词，这样，「方程」一词首次意为「含有未知数的等式」。 1873年，清数学家华蘅芳与英国传教士传兰雅合译《代数学》，他们则把'equation'译为「方程式」，他们的意思是，「方程」与「方程式」应该区别开来，「方程」仍指《九章算术》中的意思，而「方程式」是指「含有未知数的等式」。 直到1934年，中国数学学对数学名词进行逐一审查，确定「方程」与「方程式」者意义相通，至此「方程」与「方程式」同义，自此一直 沿用下来 。 贾宪三角 宋代数学家杨辉于公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了一幅「 开方作法本源图 」，人们把它称为「杨辉三角」，是一个用数字排列成的三角阵。 西方把这个三角形称为「巴斯卡三角形」，但法国数学家巴斯卡造出它已经是十七世纪的事了。 据杨辉说「开方作法本源图」：「出《释锁算书》，贾宪用此术」，贾宪是十一世纪初北宋的一位数学家，比杨辉早两个多世纪，因此应把这个三角形称为「贾宪三角」。 「贾宪三角」实际上是将二项式a + b乘方后展开式的系数表：见「开方作法本图」下面的五句话： 「 左袤乃积数，右袤乃偶算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实而除之。 」 前三句说明了贾宪三角的结构，后二句明各系数在立成释锁方法中的作用。 （ 长方形土地东西的长叫做广，南北的长叫做袤。南北引申为上下。 ） 「 左袤乃积数 」指左边由上而下的那一行「一一一一一一一」是二项展开式中常数项系数； 「 右袤乃偶算 」指右边由上而下的「一一一一一一一」是展开式中最高次项系数； 「 中藏者皆廉 」指中间那些数是对应各次项的系数； 「 以廉乘商方，命实而除之 」指开方或解方程时用所得的商去乘各次项系数，再从实中减去。 杨辉之后，朱世杰《四元玉鉴》也有同样的图， 名为「 古法七乘方图 」 增乘开方法 即高次方程数值解法，这方法可以求得任意高次展开式的系数。 高次方程数值解法是中国传统数学中最重要内容之一，源远流长，成就卓著，在汉代的《九章算术》中已有开平方、开立方的明确而规范的步骤，以及求解一元二次方程的记载，此后，南北朝祖冲之父子的《缀术》，唐代王孝通《缉古算经》中都研究了三次方程解法，北宋时期，刘益创立正负开方术，突破了以往方程系数仅为正数的限制；贾宪着有《黄帝九章算法细草》，其中一部分被杨辉采入《详解九章算法》，保留了贾宪的杰出数学成就：增乘开方法；贾宪发展了增乘开方法，创立开方作法本源，解决了一般的开高次方问题。 开方作法本源图是一个由数字排列成三角形的数表，称为贾宪三角形，给出了二项式展开式中的系数。 大衍总数术 就是求解联立一次同余式组问题，这类问题，在中国古代数学中由来已久，至少可以上溯到汉代历法中上元积年的推算。 《孙子算经》「物不知数」的数学模型，表明这一方法在南北朝时期已相当成熟，十三世纪秦九韶给出了完整方法，将其推广到最一般的情形，这方法称为「大衍总数术」，通常把中国古代求一次同余问题的解法称为「大衍求一术」。 在欧洲，经过欧拉（ Euler ， 公元 1707 - 1783 ）、拉格朗日（ Lagrange ， 公元 1736 - 1813 ）、高斯（ Gauss ， 公元 1777 - 1855 ）、三位数学家六十多年的努力才达到相同水准，但已在秦九韶之后五百五十多年了。 中国古代数学这一杰出创造被方学者称为「中国剩余定理」，中国数学史界认为应叫做「孙子定理」。 天元术 天元是指问题中的未知数，「立天元某某」相当于现在的「设x为某某」的意思。 这种建立只包含一固未知数的一元代数方程的一般方法，被称为「天元术」。 「天元术」的起源大概是十三世纪初年的前后，创作者名字和年代不可考，流传下来的有元李治的《测圆海镜》和宋朱世杰的《四元玉鉴》、《算学启蒙》。 一元多次方程表示法「元」字的左边是一次项的系数， 上层依次为二次及三次项系数，下层为常数项，右图所示方程 四元术 是中国古代处理多元高方次程组问题（可多至四个未知数）的一套代数方法。 是将「天元术」只包含一个未知数的一元方程推广至二元、三元以至四元的高次联立方程组，因未知数可以有四个之多，后人把扩充后的天元术称为「四元术」。 「四元术」中的天、地、人、物四元，相当于现在的x 、 y 、 z 、 w ，而方程的各项，在筹式中都有各自相应的固定位置。 多元一次式表示法不同未知数以不同「元」表示， 计有天元、地元、人元和物元等 ，再把「太」字放在各元中间，下为天元，上为物元，左为地元，右为人元。 右图所示方程2 x + 6 y + 3 z + 7 w = 0 招差术 即内插法，是中国数学史上有世界意义的重要成就，汉代历法中已经使用了一次内插法，隋唐时期创用了二次内插法，元数学家王恂用了三次内插法，并将其运用到历法中的许多问题，朱世杰在此基础上更进一步，把垛积与招差视为相对互逆的运算，利用三角垛系统的结果建立了四次内插公式，这比西方的同类成果早了三百多年。 垛积术 即高阶等差级数求和问题。 设有一些形状及大小均相同的离散物体堆积为一个规则台体，应如何计算这些物体的个数 ? 在《九章算术》中己经绘出各种台体，拟台体的体积公式，但离散物体的垛积问题直到沈括正式提出，并得到完满的解决，这一成就构成了中国垛积术研究的开端，以后续有人研究，南宋杨辉在《详解九章算法》及《算法通变本末》中给出了三个垛积公式： 三角垛 四隅垛 方垛垛 ( 其中 n 为垛层数 ) 后来元代朱世杰较大的发展，在《四元玉鉴》中有系统而深入的研究垛积问题，取得了极为辉煌的成就，并使之在其后数百年中一直成为数学家们关注的课题。 朱世杰的许多级数求和问题中，可归纳出一串有着重要意义的公式： 这类求和公式统称为三角垛公式。 到十九世纪李善兰的《垛积比类》集中算史上垛积之大成，乃有进一步发挥。 在此基础上产生了李善兰恒等式和「尖锥术」等一系列优秀成果。 纵横图 即现代所谓幻方（ Magic Square ），一般是指由1到n的连续自然数组成的一个方阵，每行、每列及两条对角线上的n个数之和均相同，至迟在战国时代已经出现，被称为洛书或九宫，但在后来的一千多年中并无进一步发展。 洛书显然是一个三阶幻方，其横 、 纵 、对角线各行三数之和都是十五。 据北周甄鸶注《数术记遗》： 「九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央」，是世界上最古老的三阶幻方 。 洛书 4 9 2 3 5 7 8 1 6 杨辉在他的《续古摘奇算法》中创「纵横图」之名，收入幻方十三个，包括：洛书数（三阶幻方）一，花十六图（四阶幻方）二，五五图（五阶幻方）二，六六图（六阶幻方）二，衍数图（七阶幻方）二，易数图（八阶幻方）二，九九图（九阶幻方）一，百子图（十阶幻方）一，另外还有聚五、聚六、聚五、攒九、八阵、连环诸图，是一些呈圆形的数学阵，具有与幻方类似的性质。 杨辉不仅记了许多幻方，而且对于奇数阶 3 n 阶及双数阶幻方提示了具有一般性的造方法，成为中国数学史上第一位对幻方进行系统的数学探讨的数学家。 此外，明代王文素着的《算学宝鉴》中亦有记载多种纵横图，程大位着的《算法统宗》在卷17里载有14种纵横图。 清代方中通的《数度衍》在卷首之一的「九九图说」后附有14种纵横图，它与杨辉著作中的基本上相同。 欧洲的同类工作直到十六世纪才得以系统地展开。 46 8 16 20 29 7 49 3 40 35 36 18 41 2 44 12 33 23 19 38 6 28 26 11 25 39 24 22 5 37 31 27 17 13 45 48 9 15 14 32 10 47 1 43 34 30 21 42 4 衍数图（七阶幻方） （纵横斜175 ） 31 76 13 36 81 18 29 74 11 22 40 58 27 45 63 20 38 56 67 4 49 72 9 54 65 2 47 30 75 12 32 77 14 34 79 16 21 39 57 23 41 59 25 43 61 66 3 48 68 5 50 70 7 52 35 80 17 28 73 10 33 78 15 26 44 62 19 37 55 24 42 60 71 8 53 64 1 46 69 6 51 九九图（九阶幻方） （纵横斜369 ） 右图是杨辉的九九图，可以清楚地看出他以三阶幻方为基础构造一般的3 n阶幻方的尝试： 这一九阶幻方明显地划分为九个阶方阵，每个三阶为阵的各数都由九的倍数加上图中蓝色方框中的数字构成，且结构完全一致，其和谐、对称，富有规律，在数学上达到了十分优美的境界。 体现了杨辉幻方研究的高度理论水准。 1 20 21 40 41 60 61 80 81 100 99 82 79 62 59 42 39 22 19 2 3 18 23 38 43 58 63 78 83 98 97 84 77 64 57 44 37 24 17 4 5 16 25 36 45 56 65 76 85 96 95 86 75 66 55 46 35 26 15 6 14 7 34 27 54 47 74 67 94 87 88 93 68 73 48 53 28 33 8 13 12 9 32 29 52 49 72 69 92 89 91 90 71 70 51 50 31 30 11 10 百子图（十阶幻方） （纵横斜505 ） 尖锥术 公元 1845 年李善兰在其《方圆阐释》一书中建立了一套相当于简单形式的积分学 — 尖锥术理论，提出： 体积是由面积积迭而成，面积是由线段积迭而成。 体积可变为面积，面积可变为线段。 勾股形 勾股形为什么在中国古代直角三角形会叫「勾股形」呢? 原来，中国古代在进行天文测量时，在地上��一根木竿，叫做「表」。 「表」在地面上投射出一道日影，于是表和日影构成了一个直角三角形的两条直角边。 中国古代就把直角三角形称为「勾股形」，「表」那条直角边称为「勾」，日影那条直角边称为「股」，勾股形的斜边称为「弦」 。 测出勾股的长度，便可以粗略地 推算出太阳的高度。

幻方的悠久历史，在趣味数学当中显得十分神秘。距今四千年前的“神龟载洛书”的故事就是幻方的起源，因而在国际上我们中国被称为幻方的故乡。我国著名的数学家杨辉是第一个把洛书作为数学问题进行研究的，杨辉之后，对幻方的研究相继不断，宋代丁易东，明朝王文素、程大位 ，清朝保其寿、方中通、涨潮，以及我国著名数学史家李俨，还有许多近代学者们，都为幻方的发展作出了贡献。在上海博物馆有一块在浦东陆家咀发掘出来的明代宝玉，这块宝玉的一面竟刻有一个四阶幻方，而在陕西历史博物馆中，陈列着一块西安元代安西王府旧址出土的铁板，这块铁板上也刻制着一个六阶幻方。从这两件幻方文物可看出，我国古代确实对幻方有精深的研究，并代代相传，引此为荣。 幻方的每行每列及两条主对角线，所含数字的和相等，因而它被称为均衡的典范。可是人们想不到的是，高次幻方的各线不仅和相等，而且平方和、立方和、直至k次方都相等，它们就象层层而上的灯塔，具有强烈的数学美的魅力。1892年一个叫Frolow的法国人首先发现了八阶和九阶平方幻方，平方幻方那种双重的均衡性引起人们的极大兴趣。此后人们便在平方幻方的基础上，探讨三次幻方。三次幻方的各行、各列及两对角线所含各数之和、平方和与立方和均相等，其编制有一定的难度，而阶数越低则难度越大。在上世纪五六十年代，美国的亨特先生编成了一个128阶三次幻方。十几年后，加拿大多伦多大学的考克斯特教授又宣布构造出一个64阶三次幻方，可惜这两个幻方由于数字太多，它们并没有将结果公之于众。因此人们希望降低幻方的阶数，想方设法构造出在一张纸上能够容纳下的三次幻方。 上世纪90年代，国外的幻方研究资料不断地传进中国，其中高次幻方的佳品引起中国幻方爱好者的极大兴趣。他们知道，中国作为幻方的故乡，如果没有平方幻方、三次幻方的成果，似乎有些说不过去。为了祖国在这个领域的荣誉，1991年，山东吴硕辛创造了一种mi（q）语言，可直接演算出8阶、9阶、16阶平方幻方，以及64阶、32阶3次幻方，可是由于他重视幻方的研究，并未将这些成果发表出来。舒文中在1991年，丁宗智、孙友在1992年各出版了《幻方》书，在他们的书中，都有大量的平方幻方和双重幻方的研究和佳品。1993年，福建苏茂挺、上海戴宏图在《科学画报》中，发表了《巧妙的32阶3次幻方》一文，对幻方爱好者影响很大。后来我们进一步了解到，上海俞润如，江苏钱剑平，安徽刘霞也分别构造出性质更完美的32阶3次幻方。1995年10月，施学良在他的96万字的幻方专著中，发表了32阶、64阶、81阶三次幻方。从而三次幻方的研究，展现出丰富多彩的景象。 对于三次幻方的研究而言，应该阶数越低越好，在某种意义上来说，这已经形成了一种国际性的竞赛。如今32阶三次幻方，在我国能够构造出成千上万种，简直达到十分自如的地步。这时候人们自然将研究的目标瞄准16阶三次幻方，几乎所有的人都认为16阶三次幻方是存在的，延安教育学院的高源老师在成功得到16阶行三次幻方以后，在1997年设奖1997元征解16阶三次幻方，从而研究探索十六阶三次幻方的人不断涌现。吉林80多岁的滕越老先生对此研究了四、五年，获得了大量的16阶行三次幻方。安徽芜湖王忠汉获得了一个接近的16阶三次幻方，只有两行及两条对角线不满足三次幻方的要求，引起人们极大的兴趣。如果不受1—162这256个数字的约束，高次幻方的构成则就容易多了，2001年5月苏州郭先强、四川李文、福建苏茂挺，各构选出一个16阶广义三次幻方，接着郭先强又构造成功36阶广义五次幻方。