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实对称阵的特征值都是实数,所以n阶阵在实数域中就有n个特征值(包括重数),并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的,从而n阶矩阵共有n个无关特征向量,所以可对角化。
判断方阵是否可相似对角化的条件:
(1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;
(2)充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k;
(3)充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An一定可以相似对角化;
(4)充分条件:如果An是实对称矩阵,那么An一定可以相似对角化。
扩展资料
结论:
1、实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数,这个结论只对实对称矩阵成立,不要错误地使用。
2、两个实对称矩阵,如果特征值相同,一定相似,同样地,对于一般矩阵,这个结论也是不成立的。
3、实对称矩阵在二次型中的应用
使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。
参考资料来源:百度百科-实对称矩阵
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一个特征值只能有一个特征向量,(非重根)又一个重根,那么有可能有两个线性无关的特征向量,也有可能没有两个线性无关的特征向量(只有一个)。不可能多于两个。
如果有两个,则可对角化,如果只有一个,不能对角化;矩阵可对角化的条件:有n个线性无关的特征向量;这里不同的特征值,对应线性无关的特征向量。重点分析重根情况,n重根如果有n个线性无关的特征向量,则也可对角化。
特征值和特征向量数学概念
若σ是线性空间V的线性变换,σ对V中某非零向量x的作用是伸缩:σ(x)=aζ,则称x是σ的属于a的特征向量,a称为σ的特征值。位似变换σk(即对V中所有a,有σk(a)=kα)使V中非零向量均为特征向量,它们同属特征值k;而旋转角θ(0<θ<π)的变换没有特征向量。可以通过矩阵表示求线性变换的特征值、特征向量。
以上内容参考:百度百科-特征值和特征向量
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。 2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。 3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化,且相似对角阵上
你好!解答如图,需要借助两个定理才容易证明。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!
还有三个月就是毕业生们答辩的时间了,但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫,我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目,供毕业生们参考!
矩阵对角化有三种方法 1、利用特征值和特征向量将矩阵对角化 由于这种方法相对来说比较基础、简单、机械,一般教材都有详细介绍,这里用图示加以总结。 2、利用矩阵的
如果A^T=A,那么(C^TAC)^T=C^TAC,所以和一个对称阵合同的矩阵一定也是对称阵。 把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,