线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家， 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz ， 1693 年） 。 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为 0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论， 数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的。 (1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵，或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。 矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。 由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
王金金, 教授,理学院副书记，负责本科生的管理工作, 同时还从事本科生“高等数学”、“线性代数”、“数值逼近”、“数值分析”、“计算方法”等课程的教学工作。 近五年发表教学论文十余篇，主持教学研究项目两项, 获教学奖4项，学校教材2等奖两项， 学校2等以上教学优秀成果奖5项。 社会兼职有：陕西省大学数学教学委员会副主任； 陕西省工业与应用数学学会常务理事、副秘书长、数学建模专业委员会主任；全国大学生数学建模竞赛陕西赛区专家组成员；“高等数学研究”杂志编委会常务编委。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。 线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易. 一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。 二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
好写的。答：数学及应用数学毕业论文的写作，重点在于培养和提高该专业学生的数学理论研究和应用研究的能力。该专业重视科技论文的写作、学生的创新能力等。论文选题应注意的问题：1、数学与应用数学毕业论文的选题应以数学基础、应用数学、数学教育等学科为基础，结合所学专业知识，在某专业方向开展专题研究与实践。2、该专业的论文标题不宜过大，适当考虑研究和写作难度，选好论文题目后，可请教自己的指导老师，询问该课题的可行性，确定后再作论文写作。3、数学与应用数学专业的论文选题可以在知网网站上检索此类关键词，可结合所搜索的相应论文，以确定撰写论文的方向及选题角度。
代数毕业论文如果是本科毕业论文，可以考虑线性代数算法方面的问题，有目标了就不难，关键是心态有新意就很好写的。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。 线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易. 一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。 线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。 二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数 上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
上篇笔记讲了向量与矩阵在二维空间的几何含义，这篇从三维空间说起。 相比于二维空间下的线性变换，三维空间多考虑了一个基向量 。 三维空间进行线性变换可以变换为一个三维空间、一个平面、一条线、甚至是原点。
行列式是用来度量变换前后空间改变的比例大小。我们通常以基向量构成的平面或立体为观察点，只需观察变换前后基向量构成的空间大小变化情况，就能得出行列式的值。
行列式的值可正可负，也可为0。
取基向量为 ， ，则它们围成的正方形面积为1。若变换后的基向量的相对 顺序 不改变，即 仍在 的右边，那么行列式为正，反之为负。
明白了行列式的几何意义，行列式为0就很容易理解了。线性变换将空间面积/体积压缩至0。 2D空间中，det=0意味着空间被压缩成了一条直线或者是一个点。 3D空间中，det=0意味着空间被压缩成了一个平面、直线、或者是一个点。
以方程组来阐述：
向量 经过一个线性变换 变成了向量 。
1.如果 将此3维空间压缩到至更低维度，则相当于行列式为0，此时 没有逆变换 ，因为线性变换后空间变成了平面、直线、或者是一个点。 上述情况下，都不能通过逆变换将其变为原来的3D空间。
但 可能存在解，因为 恰好处于变换后的平面、直线上，甚至于 为零向量。
变换后空间的维度被称为此矩阵的 秩 ，因此如果不是满秩，则矩阵的列必然线性相关。因为变换后的某些基向量没有为 张成空间 做出贡献。我们用 列空间 来描述变换后 基向量 张成的空间，那么秩更精确的定义就是列空间的维数。
只要变换后不是满秩，那么说明变换压缩了空间，并且有一系列向量变换成了零向量，这类向量张成的空间我们称之为零空间——或者叫做 核 。即齐次线性方程组的解就是 核 。
表明变换为满秩。此时空间中只有零向量不进行变换。其他所有向量都进行了变换。变换存在逆变换，我们可以通过计算逆变换来求解方程组。
逆变换 的性质如下：
求解形如 的非齐次线性方程组时，如果方程组有解(行列式不为0)，那么一定存在唯一一个 使得线性变换后与 重合。
之前我们针对的都是方阵，即行数与列数相等的矩阵，如果换成非方阵，情况有什么不同呢？
我们往往要针对不同维度的变量进行转换，或者是降维，或者是升维，一个很常见的应用就是神经网络，信息在不同维度间传递，这就涉及到利用非方阵来进行线性变换。
以几何意义来看 ，其基向量变成了 三维 ，但 的一组基向量只包含2个向量。因此 所代表的线性变换是把空间中的向量从 二维 变成了 三维 ，但是其基向量张成的空间维数仍为2，也就是说其秩为2，与 变换前 基向量张成的空间维数一样，因此这个非方阵仍然是满秩。
主要内容来源于b站up主 @3Blue1Brown 的 线性代数的本质
有三种理解向量的方式，如下：
以2维空间为例，存在一组基向量 。这个二维空间中的任意一个向量都可以由这一组基向量表示，那么就说这个二维空间是 这一组基向量所 张成 的空间。具体表示方式为：
其中 是任意实数，也是 的值。 仅仅通过对基向量进行 缩放相加 的操作就能得到空间中的任何一个向量，这也说明向量加法与数乘尤为重要。
所以说
自然，这样的基向量有无数组， 二维空间中，我们通常选择上述的 作为基向量。
变换 其实等价于 函数 ，在此场景下，函数输入的是向量，输出的也是向量。
输入输出的向量维度可以不同。
之所以用 变换 而不是 函数 来定义，是因为 变换 更强调一个 运动 的过程，例如二维空间中我们能想象，向量经过一个 线性变换 从而移动到空间中其他位置。
变换 有线性变换和非线性变换2种，本节讲的是 线性变换 及其与 矩阵 的关系。
将向量想象成箭头，那么 线性变换 是指起点在 原点 的向量在不同空间中的移动，且保持了向量数乘和加法的不变性。 这个不同空间可以理解为
例如一个3维向量经过线性变换变成了3维向量。 或者一个3维向量经过线性变换变成了2维向量。
上述的1其实是2的一个特例，如果变换后空间维数不一样了，那么空间定义的基向量肯定也发生了改变。
直观上，我们可以使用
2个条件来表示线性变换。
我们知道线性变换就是将空间中所有的向量移动到一个新的位置。在此过程过程中，向量的起点不变。那么如何追踪任意一个变换过的向量呢？
由上一节我们知道了向量其实是基向量的线性组合，任何向量都可以由基向量来表示。
怎么知道基向量的变换情况呢？在二维空间中，我们只需观察 这组基向量。并且线性变换后的基向量的系数就是线性变换之前基向量的系数，也就是线性变换之前 的坐标 。
已知
即 ， 经过线性变换后变为 ，即 ，此时 相应地变换为 ， ，且 证明 。
由上文线性变换的 定义 可知： 所以 。
所以只要我们知道了变换后的基向量坐标，我们就能进行线性变换。
现在假设已知线性变换后的基向量 , 。 借用上述证明中的各已知条件。
，
那么将 的坐标"包装"在一个 的格子里，我们称其为 矩阵 。
看到这里，大家应该明白了原来矩阵是经过线性变换后的基向量的拼接。
而日常应用中通常会给出矩阵，所以本节开头假设变换后的基向量已知是成立的，它就是矩阵的元素嘛。
那么空间中变换后的任意向量就可以由基向量来表示了。
请看下面的例子：
有矩阵 ，另有向量 ，则向量在矩阵的" 作用 "下，(经过一个 线性变换 )，向量的新坐标(移动到一个新的位置)如下：
请仔细看，跟上文中 这一形式类似,此时 相当于 ，为基向量的系数，而 ， 则为线性变换后的基向量。
因此矩阵与向量的乘法的直观解释如下：
既然一个矩阵代表空间的一次 线性变换 ，那么矩阵相乘就表示变换过一次的基向量再进行一次 线性变换 ，即对原空间进行两次线性变换。
进行两次变换的效果等价于2个矩阵相乘后得到的1个矩阵一次变换的效果。
主要内容来源于b站up主 @3Blue1Brown 的 线性代数的本质
三种向量的观点
线性代数中最基础，最根源的组成部分是向量，那么什么是向量呢？从不同学生的视角看，有以下三种观点：
物理专业学生的视角 ：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和所指的方向，只要这两个要素相同， 向量可以任意移动。 计算机专业学生的视角 ：向量是有序的数字列表，数字顺序不可以随意转变。 数学专业的视角 ：向量可以是任何东西，只要满足向量之间相加和数字与向量相乘都有意义即可。
我们先来考虑平面中的x-y坐标系，向量被定义为从原点出发的有方向的箭头。这与物理专业的看法略有不同，因为他们认为向量在空间中可以自由落脚，但是在线性代数中，向量是从原点作为起点的。而向量的坐标如[2,3]，则是有序性的体现，2代表横坐标，3代表纵坐标，二者不可交换。
接下来，我们来介绍下向量的几何意义、向量加法的几何意义，以及向量乘法的几何意义。
向量的几何意义 考虑平面中的x-y坐标系，由x轴和y轴组成，二者的交叉部分叫做原点。
一个向量的坐标由一对数组成，这对数指导我们如何从原点走到向量的终点。
如上图的向量，它告诉我们先沿x轴往左移动2个单位，再沿y轴移动3个方向。
向量加法的几何意义 假设我们现在有两个向量：
如果我们把w从原点移动到v的终点，然后再连接原点和w的终点，那么得到的向量就是二者的和。
为什么是这样，还是回到向量的意义来，他定义了一种移动方式，假设v的坐标是[1,2],w的坐标是[3,-1]。v告诉我们要沿x轴向右移动1个单位，沿y轴向上移动2个单位，而w告诉我们要沿x轴向右移动3个单位，沿y轴向下移动一个单位。这样总体的移动效果就是沿x轴向右移动5个单位，沿y轴向上移动1个单位，得到的结果是[5,1]。因此向量加法的几何意义，我们可以看作是多次移动的累积结果，从计算上来看，就是如下的式子：
向量乘法的几何意义 向量乘法就是对向量进行拉伸(乘以一个大于1的正数)，压缩(乘以一个小于1的正数)，翻转向量的行为(乘以一个负数)，这些行为统称为统称为scaling。而向量乘上的这些数值本身，称之为向量(scalars)。向量乘法的计算方式如下：
基向量 我们之间介绍了向量之间两种最基本的运算，向量相加 以及 向量的缩放。还是以二维平面为例，其实每一个向量都可以通过 基向量(basis vectors) 经由上面的两种运算得到，假设我们的基向量是[1,0]和[0,1]，如下图:
当然，基向量可以任意选择，定义两个向量v和w，以其为基向量，通过加法和乘法，可以得到平面中任意的向量：
基向量的严格定义为： 向量空间中的基是张成该空间的一个线性无关的向量集 ：
线性组合 线性组合Linear Combination 的几何意义如下图所示，完整上来说，其实是向量之间的线性组合，其主体是向量，线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。
线性组合有下面是三种情况： 1）如果参与组合的一对向量不共线，那么由它们进行线性组合所得到的向量可以达到平面上的任意一个点：
2）如果参与组合的一对向量共线，那么由它们进行线性组合所得到的向量的终点被限制在一条通过原点的直线：
3）如果参与组合的一对向量都是零向量，那么由它们进行线性组合所得到的向量永远是零向量：
向量张成的空间 张成的空间 ：v与w全部的线性组合所构成向量集合被称为张成的空间。
对于平面来说，如果两个向量不共线，那么可以张成整个二维平面，如果共线，只能张成一条直线。
对于三维空间来说，如果三个向量共线，那么只能张成一条直线，如果三个向量共平面，那么只能张成一个平面，如果三个向量不共平面，则可以张成整个三维空间。
线性相关 线性相关 ：如果一组向量中，至少有一个对张成的空间没有帮助，或者说其中一个向量可以表示成其他向量的线性组合，或者说其中一个向量在其他向量所张成的向量空间中。
线性无关 则与线性相关相反，所有向量都不能表示成其他向量的线性组合：
线性变换Linear transformation 变换其实也是一种函数，我们有一个输入向量，然后经过变换之后，得到一个输出向量。整个过程，可以看作是输入的向量移动到了输出的输出的位置。考虑整个平面上的向量，在经过变换之后，得到了一个最新的位置。
那什么是线性变换呢？满足下面两个条件： 1）所有的直线还是直线。即原先终点在一条直线上的向量，在经过线性变换之后，这些向量还落在一条直线上。 2）原点还在原来的位置。
那么如何来描述我们的线性变换呢？考虑向量v = [-1,2]，在i = [1,0]和j = [0,1]为基的情况下，v = -1 * i+2 * j，假设线性变换如下：
上图中，原先的i=[1,0]变换到i'=[1,-2]，原先的j=[0,1]变换到j'=[3,0],而原先的v变换到v'=[5,2]，而关系 v' = -1 * i' + 2 * j'仍然存在。即图中的式子成立。
所以说，一个2*2的矩阵，[[a,c],[b,d]]其实代表了一种线性变换，它把原来的[1,0]变换到[a,b]的位置，把原先空间中的[0,1]变换到[c,d]的位置。而该矩阵与一个向量[x,y]相乘的结果，相当于对该向量做了一次线性变换，把向量移动到新平面中对应的位置：
两个2*2矩阵a和b相乘，可以看作是对原始空间连续做了两次线性变换，而得到的计算结果c也是一个2*2的矩阵。使用c对原始空间进行一次线性变换，和连续使用a和b对原始空间进行两次线性变换的效果相同。
矩阵的计算就不细讲了，我们只需要知道，矩阵相乘的几何意义是将两次单独的变换变为一次组合变换即可。
该结论到三维空间中也是同样成立的。
如果在二维空间中，我们画出相对应的网格，那么线性变换，就是对这些网格做了拉伸，收缩或者反转。那么如何来定义这种变换的程度呢？就需要用到行列式determinant的概念了。
举一个简单的例子吧：
在进行线性变换后，原来一个面积为1的单位方格，变成了面积为6的矩形。可以说，线性变换将原空间放大了6倍。
再看一个例子：
上面的例子中，当二维空间经过一次线性变换被压缩成一条直线甚至是一个点时，行列式为0，因此可以通过行列式是否为0来判断线性变换后的空间的维度是否与原空间相同。
我们知道，行列式的值是有正有负的，那么怎么判断是负数呢？我们可以通过变换后的基向量i和j的方向来判定。
在变换之前，j是在i的左侧的：
如果经过线性变换后，j变成了在i的右侧，那么得到的行列式的值是负的：
那么到三维空间中，行列式的值就告诉我们经过线性变换后，单位体积变化的程度，而行列式的值可以通过右手定则来判定：
那么行列式如何来计算呢？
逆矩阵 我们先从线性方程组着手，一个线性方程组可以表示成Ax = v：
看到这里，你也许已经知道这代表什么含义了，矩阵A相当于一个线性变换，向量x在经过A这个线性变换后，得到的向量为v。线性方程组的求解过程其实就是找到向量v在经由A这个线性变换之前所在的位置x。
因此，我们可以把它变成另一个过程，即将v所在的线性空间，经过另一个逆向的过程，变回x所在的线性空间，那么这个线性变换用矩阵表示，就是A的逆矩阵，用A -1 表示。即逆矩阵A -1 所代表的线性变换，是A所代表的线性变换的逆过程。因此A -1 A相对于任何事情都没有做。
那么既然逆矩阵相当于线性变换的逆操作，因此只有在线性变换后空间的维数不变的情况下，才能进行逆操作。再结合之前学习到的，线性变换不降维，前提条件是矩阵的行列式值不为0，因此矩阵的逆矩阵存在的前提，即矩阵的行列式值不为0。
矩阵的秩Rank 矩阵的秩即经由该矩阵代表的线性变换后，所形成的空间的维数。比如在三维空间中，如果经过某个矩阵A代表的线性变换后，空间变为一条直线，那么这个矩阵的秩为1。如果空间变为一个平面，那么这个矩阵的秩为2。如果还是三维空间，那么矩阵的秩为3.
列空间
列空间有两种解释： 1）假设矩阵A代表一个矩阵变换，原始空间中所有的向量，在经由矩阵A的变换之后，所得到的所有新向量的集合 2）由矩阵A的列向量所张成的空间
比如下面的例子，[[2,-2],[1,-1]]这个矩阵，将二维空间变换为一条直线，那么这条直线就是矩阵的列空间。
零空间
如果某个向量空间在线性变换之后，存在降维，那么就会有一系列原来不是零向量的向量落到了零向量的位置，所有这些向量的集合构成了零空间。
点积的标准观点
如果我们有两个维数相同的向量，他们的点积就是对应位置的数相乘，然后再相加：
从投影的角度看，要求两个向量v和w的点积，可以将向量w朝着过原点的向量v所在的直线进行投影，然后将w投影后的长度乘上向量v的长度（注意两个向量的的夹角）。
当两个向量的夹角小于90度时，点积后结果为正，如果两个向量垂直，点积结果为0，如果两个向量夹角大于90度，点积结果为负。
一个有趣的发现是，你把w投影到v上面，或者把v投影到w上面，结果是相同的。
但是你不觉得上面两个过程是完全不同的嘛？接下来就直观解释一下。
假设我们有两个长度完全相同的向量v和w，利用其对称性，无论将v投影到w上还是将w投影到v上，结果都是一样的：
如果我们把其中一个向量变为2倍，这种对称性被破坏了。假设我们把w投影到v上，此时投影的长度没变，但v的长度变为两倍，因此是原来结果的两倍。同样如果把v投影到w上，投影长度变为2倍，但w长度没变，所以结果也是原结果的两倍。所以对于两个向量的点积来说，无论选择哪个向量进行投影，结果都是一样的。
问题又来了，投影的思路和对位相乘再相加的思路，有什么联系呢？联想之前所学的线性变换过程，假设u是二维空间变换到一维空间后的基向量：
在第三讲中我们已经知道，一个2*2的矩阵，[[a,c],[b,d]]其实代表了一种线性变换，它把原来的[1,0]变换到[a,b]的位置，把原先空间中的[0,1]变换到[c,d]的位置。那么想要知道什么样的线性变换可以将二维空间中的基向量i和j变换到一维空间中的基向量u，只需要知道i和j变换后的位置即可。i和j变换后的位置，相当于对u所在的直线进行投影，利用对称性，可以得到相应的结果，如下图：
所以二维空间中的任意一个向量，通过上面的线性变换可以得到的一维向量。这个过程相当于对二维向量进行了投影。而根据矩阵乘法的计算方法，便可以将投影的计算方法和对位相乘再相加的方法联系起来。
上面的思路总结起来，就是无论何时你看到一个二维到一维的线性变换，那么应用这个线性变换和与这个向量点乘在计算上等价：
上面是数学中“对偶性”的一个有趣实例。
首先来看叉积的标准介绍。叉积是通过两个三维向量生成一个新的向量，新的向量满足下面三个条件： 1）垂直于这两个向量所张成的平面 2）其长度等于这两个向量所形成的四边形的面积 3）其方向满足右手定则
右手定则如下：
接下来看看叉积的具体计算，求行列式得到的是叉积后向量的长度，叉积得到的向量的坐标是下图中的三个“某些数”。
接下来，深入理解叉积的含义，我们通过线性变换的眼光来看叉积。我们首先定义一个三维到一维的线性变换：
先回顾一下行列式的定义，三维空间中，3 * 3矩阵的行列式是三个向量所形成的平行六面体的有向体积（绝对值是体积，但需要根据方向判定其正负号），但这并非真正的叉积，但很接近：
假设我们把第一个向量变为变量，输入一个向量(x,y,z)，通过矩阵的行列式得到一个数，这个数就代表我们输入的向量与v和w所组成的平行六面体的有向体积：
为什么要这么定义呢？首先要指出的是，上面的函数是线性的。所以我们就可以将上面的行列式过程表示成一个变换过程：
同时，当线性变换是从多维到一维时，线性变换过程又可以表示为点积的形式：
即p的结果是：
所以，问题其实变换为了，找到一个向量p，使得p和某个向量(x,y,z)求点积的结果，等于对应的三维方阵行列式的值（即(x,y,z)和向量u、v所组成的平行六面体的有向体积）。
左边是一个点积，相当于把(x,y,z)向p上投影，然后投影长度和p的长度相乘：
而右边平行六面体的体积，可以拆解为底面积 * 高。底面积可以认为是v和w所组成的平行四边形的面积，高的话是(x,y,z)在垂直于v和w所张成的平面的方向上的分量的长度。
那么：
点积 = (x,y,z)在p上投影的长度 * p的长度 体积 = v和w所组成的平行四边形的面积 * (x,y,z)在垂直于v和w所张成的平面的方向上的分量的长度
根据二者相等，可以认为p的长度是v和w所组成的平行四边形的面积、p的方向垂直于v和w所张成的平面。这样我们的p就找到了，而p就是我们要找的叉积的结果，是不是很奇妙！
详细的过程还是推荐大家看一下视频，讲的真的非常好！
在二维空间中的向量[3,2]，我们可以将其看作向量伸缩再相加的结果，比如把i即[1,0]变长为3倍，把j即[0,1]变长为2倍，再相加。
一个向量本没有坐标，之所以能够把向量转换成一组坐标，或者说能把向量转换成一组有序的数，是因为我们设定了一个坐标系。
发生在向量与一组数之间的任意一种转化，都被称为一组坐标系。之所以上面的向量表示为[3,2]，是因为把i伸长为3倍、把j伸长为2倍，再相加的结果。平面中任意其他向量都可以表示为i和j的有向伸缩倍数，此时i和j就被称为坐标系的基向量。
有三种理解向量的方式，如下：
以2维空间为例，存在一组基向量 。这个二维空间中的任意一个向量都可以由这一组基向量表示，那么就说这个二维空间是 这一组基向量所 张成 的空间。具体表示方式为：
其中 是任意实数，也是 的值。 仅仅通过对基向量进行 缩放相加 的操作就能得到空间中的任何一个向量，这也说明向量加法与数乘尤为重要。
所以说
自然，这样的基向量有无数组， 二维空间中，我们通常选择上述的 作为基向量。
变换 其实等价于 函数 ，在此场景下，函数输入的是向量，输出的也是向量。
输入输出的向量维度可以不同。
之所以用 变换 而不是 函数 来定义，是因为 变换 更强调一个 运动 的过程，例如二维空间中我们能想象，向量经过一个 线性变换 从而移动到空间中其他位置。
变换 有线性变换和非线性变换2种，本节讲的是 线性变换 及其与 矩阵 的关系。
将向量想象成箭头，那么 线性变换 是指起点在 原点 的向量在不同空间中的移动，且保持了向量数乘和加法的不变性。 这个不同空间可以理解为
例如一个3维向量经过线性变换变成了3维向量。 或者一个3维向量经过线性变换变成了2维向量。
上述的1其实是2的一个特例，如果变换后空间维数不一样了，那么空间定义的基向量肯定也发生了改变。
直观上，我们可以使用
2个条件来表示线性变换。
我们知道线性变换就是将空间中所有的向量移动到一个新的位置。在此过程过程中，向量的起点不变。那么如何追踪任意一个变换过的向量呢？
由上一节我们知道了向量其实是基向量的线性组合，任何向量都可以由基向量来表示。
怎么知道基向量的变换情况呢？在二维空间中，我们只需观察 这组基向量。并且线性变换后的基向量的系数就是线性变换之前基向量的系数，也就是线性变换之前 的坐标 。
已知
即 ， 经过线性变换后变为 ，即 ，此时 相应地变换为 ， ，且 证明 。
由上文线性变换的 定义 可知： 所以 。
所以只要我们知道了变换后的基向量坐标，我们就能进行线性变换。
现在假设已知线性变换后的基向量 , 。 借用上述证明中的各已知条件。
，
那么将 的坐标"包装"在一个 的格子里，我们称其为 矩阵 。
看到这里，大家应该明白了原来矩阵是经过线性变换后的基向量的拼接。
而日常应用中通常会给出矩阵，所以本节开头假设变换后的基向量已知是成立的，它就是矩阵的元素嘛。
那么空间中变换后的任意向量就可以由基向量来表示了。
请看下面的例子：
有矩阵 ，另有向量 ，则向量在矩阵的" 作用 "下，(经过一个 线性变换 )，向量的新坐标(移动到一个新的位置)如下：
请仔细看，跟上文中 这一形式类似,此时 相当于 ，为基向量的系数，而 ， 则为线性变换后的基向量。
因此矩阵与向量的乘法的直观解释如下：
既然一个矩阵代表空间的一次 线性变换 ，那么矩阵相乘就表示变换过一次的基向量再进行一次 线性变换 ，即对原空间进行两次线性变换。
进行两次变换的效果等价于2个矩阵相乘后得到的1个矩阵一次变换的效果。
主要内容来源于b站up主 @3Blue1Brown 的 线性代数的本质
问题一：多元线性回归分析论文中的回归模型怎么分析 根据R方最大的那个来处理。（南心网 SPSS多元线性回归分析） 问题二：谁能给我列一下多元线性回归分析的步骤，这里正在写论文，第一部分是研究方法，多谢 10分 选题是论文写作关键的第一步，直接关系论文的质量。常言说：“题好文一半”。对于临床护理人员来说，选择论文题目要注意以下几点：（1）要结合学习与工作实际，根据自己所熟悉的专业和研究兴趣，适当选择有理论和实践意义的课题；（2）论文写作选题宜小不宜大，只要在学术的某一领域或某一点上，有自己的一得之见，或成功的经验．或失败的教训，或新的观点和认识，言之有物，读之有益，就可以作为选题；（3）论文写作选题时要查看文献资料，既可了解别人对这个问题的研究达到什么程度，也可以借鉴人家对这个问题的研究成果。 需要指出，论文写作选题与论文的标题既有关系又不是一回事。标题是在选题基础上拟定的，是选题的高度概括，但选题及写作不应受标题的限制，有时在写作过程中，选题未变，标题却几经修改变动。 问题三：用SPSS做多元线性回归，之后得到一些属于表格，该怎样分析这些数据？ 200分 你的分析结果没能通过T检验，这可能是回归假设不满足导致的，需要进一步对数据进行验证，有问题可以私信我。 问题四：过于多元线性回归分析，SPSS操作 典型的多重共线。 多元回归分析中，一定要先进行多重共线检验，如VIF法。 对于存在多重共线的模型，一个办法是逐步回归，如你做的，但结果的删除变量太多，所以，这种方法效果不好。 此外，还有其它办法，如岭回归，主成分回归，这些方法都保留原始变量。 问题五：硕士毕业论文中做多元线性回归的实证分析，该怎么做 多元线性，回归，的实证分析 问题六：用SPSS做多元回归分析得出的指标结果怎么分析啊？ 表一的r值是复相关系数，r方是决定系数，r方表示你的模型可以解释百分之多少的你的因变量，比如你的例子里就是可以解释你的因变量的百分之八十。很高了。表二的sig是指你的回归可不可信，你的sig是0。000，说明在0.01的水平上你的模型显著回归，方程具有统计学意义。表三的sig值表示各个变量在方程中是否和因变量有线性关系，sig越大，统计意义越不显著，你的都小于0.05，从回归意义上说，你这个模型还蛮好的。vif是检验多重共线性的，你的vif有一点大，说明多重共线性比较明显，可以用岭回归或者主成分回归消除共线性。你要是愿意改小，应该也没关系。 ppv课，大数据培训专家，随时随地为你充电，来ppv看看学习视频，助你成就职场之路。更有精品学习心得和你分享哦。 问题七：如何对数据进行多元线性回归分析？ 5分 对数据进行多元线性回归分析方法有很多，除了用pss ，可以用Excel的数据分析模块，也可以用Matlab的用regress（）函数拟合。你可以把数据发到我的企鹅邮箱，邮箱名为百度名。 问题八：经济类论文 多元线性回归 变量取对数 40分 文 多元线性回归 变量取对数 知道更多 多了解
关于线性代数，首先搞清楚线代都能干什么:求Ax=B的时候，我们不是基于求解具体的解，而是先研究A的各种特性，看看这些特性是如何影响Ax=B的解的。所有的特性就是行列式，矩阵，秩，特征向量和特征值，等等。这就是线性代数的主要内容。它的应用就是对于向量和方程作正交分解(对角化，特征向量)，达到降低方程组维数的作用，使得经典方法那一求解的问题变得可解，应用在图像处理，天气预测等诸多领域。具体的你可以看看我的blog的讲解。--------------------------------------漫谈高数(二)方程和矩阵的物理含义漫谈高数(三)线性相关和秩的物理意义漫谈高数(四)特征向量物理意义漫谈高数(七)正交,相关,消元漫谈高数(八)正交分析和谱分析
第一节 一元线性回归方程的显著性检验由上面的讨论知，对于任何的两个变量x和Y的一组观测数据（ ）（i=1,2,……,n）按公式（10）和（11）都可以确定一个回归方程 然而事前并不知道Y和x之间是否存在线性关系，如果两个变量Y和x之间并不存在显著的线性相关关系，那么这样确定的回归方程显然是毫无实际意义的．因此，我们首先要判断Y和x是否线性相关，也就是要来检验线性假设 是否可信，显然，如果Y和x之间无线性关系，则线性模型的一次项系数 =0；否则 0．所以检验两个变量之间是否存在线性相关关系，归根到底是要检验假设 根据现行假设对数据所提的要求可知，观察值 ， ，…… 之间的差异，是有两个方面的原因引起的：（1）自变量x的值不相同;（2）其它因素的影响，检验 是否成立的问题，也就是检验这两方面的影响哪一个是主要的问题．因此，就必须把他们引起的差异从Y的总的差异中分解出来．也就是说，为了选择适当的检验统计量，先导出离差平方和的分解因式．[6]一、离差平方和的分解公式观察值 （i=1,2,……,n），与其平均值 的离差平方和，称为总的离差平方和，记作 因为 = 其中：=2 =2 =2 =2 所以= 由于 中的 ， 为（10）和（11）所确定．即它们满足正规方程组（9）的解．因此定义项= 于是得到了总离差平方和的分解公式： 其中（19）是回归直线 上横坐标为 的点的纵坐标，并且 的平均值为 ， 是 这n个数的偏差平方和，它描述了 的离散程度，还说明它是来源于 的分散性，并且是通过x对于Y的线性影响而反映出来的，所以， 称为回归平方和而 = 它正是前面讨论的 的最小值，在假设（1）式的条件下它是由不可观察的随机变量 引起的，也就是说，它是由其它未控制的因素及试验误差引起的，它的大小反映了其它因素以及试验误差对实验结果得影响．我们称 为剩余平方和或残差平方和．[7]二、 、 的性质及其分布由以上分析可知，要解决判断Y和x之间是否存在线性相关关系的问题，需要通过比较回归平方和和剩余平方和来实现．为了更清楚地说明这一点，并寻求出检验统计量，考察估计量 ， 的性质及其分布．（一） 的分布 由（14）式可知= 在 相互独立且服从同一分布 的假定下由（2）知 ， ，…… 是P个相互独立的随机变量，且 （i=1,2,……，n）所以他们的平均值 的数学期望为：因为 是 的线性函数，且有：这说明 是 的无偏估计量且 的方差为所以 即: 同样可证，对于任意给定的 其对应的回归值 （它是 的点估计）适合( ， （二） 方差 的估计及分布因为 = = = 由 、 及 可得 = 又由于 及E(L)，E(U)得=E(L)+E(U) =（n-2） 从而,说明了 = = 是 的无偏估计量，由此可见，不论假设 成立与否， 是 的一个无偏估计量，而 仅当假设成立时，才是 的一个无偏估计量，否则它的期望值大于 ．说明比值 （20）在假设成立时有偏大倾向，也就是说，如果F取得值相当大，则没有理由认为x和Y之间有线性相关关系，也就是下面我们将采用F作为检验统计量的原因．另外，由于 ， 是 的最小二乘估计，由（8）式可知=0 ， =0这表明 中的n个变量 ， …… 之间有两个独立的线性约束条件，