纳什发表论文数量

纳什与博弈论的发展

2015年5月23日，美国数学家、经济学家约翰·纳什因遭遇车祸而身亡，终年86岁。

约翰·纳什的一生是跌宕起伏的一生：21岁时，一份只有27页的博士论文令他名声大噪；23岁时，担任麻省理工学院的讲师；30岁时，精神失常；66岁时，获得诺贝尔经济学奖。

??

“这人是个数学天才。”纳什的硕士导师为他读博士写的推荐信，只有一句话。尽管纳什在数理科学等各领域都取得了巨大成就，但他最为人熟知的还是他对博弈论发展做出的贡献。2007年诺贝尔经济学奖得主罗杰·迈尔森是这样评价约翰·纳什对经济学领域所做出的杰出贡献的：“他的理论对经济学和社会科学产生了根本的普遍性影响，堪比DNA双螺旋结构的发现对生物科学领域产生的影响。”

确实，博弈论对经济学的影响力不言而喻，最近的10个诺贝尔经济学奖得主中有5个就是博弈论理论学家。但博弈论的价值远不止于此，如今，随着科学家们利用博弈论思想在进化生物学和动物社会行为领域取得了重大突破，博弈论已然成为了生命科学的基本原理。

所谓博弈论，一言以蔽之，就是研究理性决策者之间冲突或合作模式的相关问题。博弈论可以用来解释世间万事，从蚁群的功能机制到人类的爱情选择、消费选择，乃至国家关系的变化等等。

博弈论的研究在纳什取得重大突破之前就已经存在，20世纪20年代到40年代之间，美国著名数学家冯·诺依曼就做过博弈论方面的研究。不过，直到纳什对博弈论的研究取得重大突破，博弈论这个名称才开始为大家所熟知。

1950年，纳什在读博士期间开始研究博弈论。当时博弈论仍然处于起步阶段，在普林斯顿高等研究所的美国著名数学家冯·诺依曼是当时该领域的带头人，他对零和博弈作出了非常深入的研究。所谓零和博弈，即是所有对局者的收益综合为零，一方获益必然意味着一方损失。

然而，现实生活中的博弈没有这么简单，双赢和两败俱伤的情况常有发生。就以当时美苏冷战为例，如果把对方的损失看作自己的收益的话，那么双方的最优策略就是，先发制人给予对方最大的打击。但是对于美苏这两个旗鼓相当的对手来说，对方也会激烈反击，这样做的最大可能却是两败俱伤。由于有这种局限性，尽管对零和博弈的研究非常深入，但在应用上价值不算太大，因为谁都不想费了牛大的力气却毫无收获。

因此，当纳什在1950年发表对非合作博弈的研究时，博弈学界眼前为之一亮。他换了一个角度来思考问题：不是考虑自己的最佳收益，而是考虑双方在什么情况下达到均衡。他认为，对于任何一个博弈来说，总是存在一个“均衡点”，在均衡点处，当对方不改变策略时，他此时的策略是最好的。如果更改自己的策略，反而不会带来任何好处。这样的均衡点后来被称为“纳什均衡”，在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单独改变策略的冲动。比如对美苏博弈来说，冷战、保持强大的威慑力、但谁也不先动手，就是一个双方都不愿意改变的“均衡点”。

我们可以用个常见的现象来解释下，例如价格战。生产同一样产品的若干厂家会形成一个相对稳定的价格，这就是“均衡点”。在这个“均衡点”，各家所卖的产品价格保持基本一致。若其中一方打破默契，开始大幅降价，以求薄利多销，获取更大利润，那么其他家便会很快跟进，互相压价。刚开始降价的一方短期内可能会增加销量和利润，但最终的结果是大家的利润都降低了。

由于纳什均衡的应用范围远比零和博弈广泛，所以纳什对博弈论的发展具有更重要的意义。

纳什均衡：

背叛为何优于合作？

我们生活在一个博弈的世界，“纳什均衡”在这个世界中应用极为广泛，它已经深刻地影响了一般人的生活，绝不仅限于数学的范畴。下面将给大家举几个经典的例子，以便大家更深刻地理解约翰·纳什这位奇才留给我们的精神遗产。

一说到博弈论，几乎每个人都会想到“囚徒困境”。这是最简单的一个博弈模型，说的是警方逮捕了两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人有罪。于是警方分开嫌疑犯，让他们相互不能沟通，并分别向两个人提供以下相同的选择：若一人认罪并检举对方（“背叛”对方），而对方保持沉默，此人将即时获释，沉默者将坐牢3年；若二人都保持沉默（互相“合作”），则因证据不足，二人都坐牢1年；若二人都互相检举（互相“背叛”），则二人都坐牢2年。

在这个模型里，对两个人来说，合作收益最大；彼此背叛收益最小。但对一个人来说，他有两种选择、四种结果：选择沉默，结果是1年（对方也沉默）或3年（对方检举），如果选择检举，则结果是获释（对方沉默）或2年（对方也检举）。这样平衡下来，检举是最好的选择。并且一方检举，一方沉默，检举一方收益更大。

由此看来，在“囚徒困境”中，双方合作收益最大（二人都坐牢1年），但在实际情况中，每个人都首先考虑自己的收益，所以双方都采取了彼此背叛的策略，结果却导致两人都坐牢2年。

囚徒困境被视为人类合作失败的一种体现，它深刻揭示了个体理性与集体理性之间的矛盾和冲突：个体按照自身利益最大化的原则采取对自己最有利的占优战略，得到的却不一定是最优的结果，相反可能导致集体的非理性。

近年来在高考招生中，北大、清华为了在各省争抢状元，采取各种手段明争暗斗，甚至不惜撕破脸皮在微博上吵架，可谓斯文扫地。作为中国最顶尖的两所大学，难道就不知道这样抢状元吃相太难看吗？非不为也，实不能也。

北大清华的状元之争是一个典型的囚徒困境。对于北大来说，无论清华抢不抢状元，抢状元都是北大的最好选择；对于清华来说也是一样。两所大学都抢状元就构成了北大清华招生博弈的纳什均衡。纳什均衡最深刻的悲剧性在于，北大和清华都意识到抢状元是毫无意义的，但抢状元却是他们必然的选择。除非引入第三方力量改变博弈结构，否则囚徒困境就不可能被打破。

破解之道就是改变高考招生的制度设计，改变以高考分数为唯一依据的招生设计。美国也有高考（SAT和ACT），但从来没听说美国有什么高考状元，也没听说美国有什么大学为争抢尖子生而闹得不可开交。原因就在于，美国大学申请不仅要看高考成绩，还要看平时成绩和社会活动，每个学校还会有不同的录取标准。在这样的招录制度下，没有哪个高校有兴趣抢什么状元。

用制度引导均衡

制度如何能够改变博弈中的纳什均衡？我们来看看另一个比较著名的博弈案例：智猪博弈。

猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有个踏板，每踩一下踏板，在远离踏板的另一边食槽就会落下少量的食物。由于踏板离食槽比较远，当小猪踩动踏板时，大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物；若是大猪踩动了踏板，则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。

那么，两只猪各会采取什么策略？答案是：小猪将选择“搭便车”策略，也就是舒舒服服地等在食槽边；而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。因为小猪踩踏板将一无所获，不踩踏板反而能吃上食物，对小猪而言，无论大猪是否踩踏板，不踩踏板总是好的选择。反观大猪，明知小猪是不会去踩动踏板的，但如果自己也不去踩踏板的话，就会饿死，所以只好亲力亲为了。小猪“搭便车”成了这个游戏的纳什均衡点。

“搭便车”现象在人类社会中屡见不鲜。小的方面，在集体野炊时，有人不动手积极劳动，等着别人做好饭就来吃；在公司里，有些人不创造效益但却分享成果。大的方面，现代社会的高福利政策也是一种民众的搭便车行为，高收入者支付的高额税收，对同样享用高福利（医疗、教育）的低税收贡献者来说，是被后者“搭了顺风车”；在商品市场中，很多商人等着成功的创新商品出现，然后大举模仿，乃至抄袭，就是“搭便车”行为。

“搭便车”自然是个很坏的纳什均衡点，那么怎样才能改变“搭便车”现象呢？在“智猪博弈”中，要想改变“小猪躺着大猪跑”的现象，就必须改变给猪喂食的方案。最好的方案是将食槽移到踏板附近，谁踩踏板谁就优先得到食物。结果呢，小猪和大猪都在拼命地抢着踩踏板。等待者不得食，而多劳者多得。政策一变，“搭便车”现象就自然消失了。也就是说，改变条件，就会形成新的纳什均衡点。

同样，在人类社会中，要想杜绝“搭便车”现象，也需要进行制度设计。比如，在国有企业的收入分配比较平均，一些奖励也是人人有份，这就使人容易产生“搭便车”心理，干活的人少，混日子的人多。最好的激励机制就是，奖励并非人人有份，而是直接针对个人（如业务按比例提成），既节约了成本（对公司而言），又消除了“搭便车”现象，能实现有效的激励。

纳什均衡还能够用于解释很多经济现象，比如“公地悲剧”。1968年，美国学者哈定在《科学》杂志上发表了一篇题为《公地的悲剧》的文章。英国曾经有这样一种土地制度——封建主在自己的领地中划出一片尚未耕种的土地作为牧场，无偿向牧民开放(称为“公地”)。这本来是一件造福于民的事，但由于是无偿放牧，每个牧民都养尽可能多的牛羊。随着牛羊数量无节制地增加，公地牧场最终因“超负荷”而成为不毛之地，牧民的牛羊最终全部饿死。

这样的“公地悲剧”在现实社会中很常见，环境污染、全球暖化都是公地悲剧的体现。假如市场经济中存在着污染，政府又没有管制，企业为了追求利润的最大化，宁愿以牺牲环境为代价也绝不会主动增加环保设备投资，所有企业都会从利己的目的出发，采取不顾环境的策略 ，从而进入“纳什均衡”状态。如果一个企业从利他的目的出发，投资治理污染 ，而其他企业仍然不顾环境污染，那么这个企业的生产成本就会增加 ，价格就要提高，它的产品就没有竞争力 ，甚至企业还要破产。

因此，在公共领域，如果人人都可以无偿使用公共资源，那么在这个博弈中，无论在哪一个纳什均衡点上，公共资源都会被过度消耗，每个人的收益最终会抵不过所付出的代价。解决这个悲剧的出路也许就是公共资源的产权化，将公共资源出售或承包给私人管理。

枪手博弈与三国演义

当博弈者只有双方时，其均衡点很容易寻找。但是生活中常见的博弈是三方还有更多方来参与，在这种情况下，我们又怎样寻找均衡点？我们来看一个枪手博弈的故事：

甲、乙、丙三个枪手准备决斗。甲枪法最好，十发八中；乙枪法次之，十发六中；丙枪法最差，十发四中。

先提第一个问题：如果三人同时开枪，并且每人只发一枪；第一轮枪战后，谁活下来的机会大一些？一般人认为甲的枪法好，活下来的可能性大一些。但合乎逻辑的结论是，枪法最糟糕的丙活下来的几率最大。

我们来分析一下各个枪手的策略。枪手甲一定要对枪手乙先开枪，因为乙对甲的威胁要比丙对甲的威胁更大，甲应该首先干掉乙，这是甲的最佳策略；同样的道理，枪手乙的最佳策略是第一枪瞄准甲；枪手丙的最佳策略也是先对甲开枪。

尽管第一轮结束后，丙活下来的可能性最大，但是第二轮开始，丙的存活的几率却会比甲或乙为低。因为在第一轮枪战后，不论甲或乙，他们的命中率都比丙的命中率为高。除非第一轮中甲乙皆死。

我们现在改变游戏规则，假定甲、乙、丙不是同时开枪，而是他们轮流开一枪。在这个例子中，我们发现丙的机会好于他的实力。

先假定开枪的顺序是甲、乙、丙，甲一枪将乙干掉后（80％的几率），就轮到丙开枪，丙有40％的几率一枪将甲干掉。

假设开枪的顺序是乙、丙、甲，乙先开枪，乙还是会瞄准枪法最好的甲开枪；不管乙是否一枪干掉了甲，下一轮仍然是轮到丙开枪。

如果开枪的顺序是丙、甲、乙，是丙先开枪，情况又如何呢？ 丙可以向甲先开枪，即使丙打不中甲，甲的最佳策略仍然是向乙开枪。但是，如果丙打中了甲，下一轮可就是乙开枪打丙了。因此，丙的最佳策略是胡乱开一枪，只要丙不打中甲或者乙，在下一轮射击中，甲和乙仍然会互相火拼，他就处于有利的形势。

我们通过这个例子，可以理解人们在博弈中能否获胜，不单纯取决于他们的实力，更重要的是取决于博弈方实力对比所形成的关系。在上面的例子中，乙和丙实际上是一种联盟关系，先把甲干掉，他们的生存几率都上升了。我们现在来判断一下，乙和丙之中，谁更有可能背叛，谁更可能忠诚？任何一个联盟的成员都会时刻权衡利弊，一旦背叛的好处大于忠诚的好处，联盟就会破裂。在乙和丙的联盟中，乙是最忠诚的。这不是因为乙本身具有更加忠诚的品质，而是利益关系使然。只要甲不死，乙的枪口就一定会瞄准甲。但丙就不是这样了，丙不瞄准甲而胡乱开一枪显然违背了联盟关系，丙这样做的结果，将使乙处于更危险的境地。

这个枪手博弈的模型显示了多方参与下，纳什均衡的不断变化。而且这个模型正好与我们历史上的三国演义有一定相似之处。公元208年，赤壁之战前，曹操大军首先横扫弱小的刘备，刘备那时对曹操根本没有还手之力，但曹操也根本没有把刘备放在眼里，而是把目光投向了在江东颇具实力的孙权政权。孙权为了自保，联络了毫无实力但在荆州一带很有人望的刘备，与刘备结成联盟，共同抗曹。结果，借着赤壁之战的胜利，原本等着灭亡的刘备，一跃而成为三足之一，这就是最差的反而活得更好的典型例证。

赤壁之战后，北方的曹操与南方的孙权、刘备达成了短暂的平衡，谁也没有能力吃掉谁。但孙权和刘备因利益冲突却开战起来，夷陵一战后，刘备元气大伤，蜀汉实力从此一蹶不振。刘备与孙权开战，完全打破了纳什均衡，消弱了自己的实力，这也是刘备不懂博弈论、意气用事的结果。在这场战争中，作为实力第二的孙权，原本应该对孙刘联盟最忠心，但为了与刘备打仗，却去投靠了曹操。不过，他很快醒悟过来，夷陵之战后，立刻着手修复与刘备的关系。

接下来，轮到诸葛亮不懂博弈论了。作为三国中最弱的一方，身处具有大山屏障的四川腹地，蜀国原本应该与“枪手博弈”中的丙一样，轮到他开枪时，朝天开个空枪，坐看老大老二相斗，自己韬光养晦、苦练内功，强国强民，方为上策。可是诸葛亮在蜀国国力贫弱的情况下，竟然七伐中原，消耗了大量国力，并使强大的曹魏始终把矛头对准自己。因此，蜀国在三国中第一个灭国就毫不为奇了。

抗日战争时期，中国大地上可谓也是一种三国格局。日本鬼子最为猖狂，占据了中国最肥沃的半壁河山；国民党政府占据着西南地区，正统上仍是中国政府；实力最弱的共产党，统治地域主要集中于贫瘠的西北一隅。为了联合对付日本鬼子，国民党和共产党这两个杀红了眼的冤家对头结成联盟，相当于枪手乙和枪手丙结盟对付甲。不过，共产党人比诸葛亮更懂博弈论，他们对付日本人主要采取游击战，而不是与日本鬼子正面硬碰硬。因此，抗战胜利后，八路军的实力大大增强，与国民党实力的差距大大缩小，在随后的国共对决中，共产党很快占了上风。

处处可见的纳什均衡

纳什均衡这么理论化的数学问题，却也能应用到恋爱中。在约翰·纳什的传记电影《美丽心灵》中就有很好的例子，纳什和他的四个男伙伴在酒吧，而对面正好有五个单身女生，其中一个最为漂亮。如果纳什和他的四个男伙伴都去追求最为漂亮的女神，那么女神就会不知道同意谁而全部拒绝。追求女神不行，接下来追求剩下的四位女生，这四个女生当然也不会同意，因为没人愿意屈居第二，当“备胎”。这样就会造成谁也没有搭讪成功。如果纳什他们改变策略，一开始谁都不去追求女神，四位男生分别去追求其她四位女生，当女神看到其她女生都有人追求，而自己却没有，这时如果纳什去追求女神，到手的几率就会大大增大。在这个策略下，每个人都有可能搭讪成功。

搭讪成功后，假设纳什真的开始了对女神的追求，那么，其实女神也还有其他不止一个追求者，对于女神来说，如何确定谁是真正的追求者是个难题，因为她没办法完全掌握每个追求者的内心世界，这是一种“非完全信息博弈”。这时她就需要某种信号来筛选了。在证明真爱方面，一句“我爱你”是没有作用的，还需要其他行动。这些行动是要付出成本的，不管是为了努力接近女孩所需要的时间成本，还是为了讨好女孩的物质成本，证明真爱，就要发出对你有成本的信号，以凸显出你值得她选择。

这样的博弈最终会导致两种均衡。一种是，追求者相继退出竞争，不再投入成本，而坚持得最久、投入成本最多的那个人最终胜出，从众多的追求者中分离开来，这叫做“分离均衡”。“分离均衡”在生活中很常见，比如，公司招聘时无法断定一个人的能力，就以学历来区分人才；而应聘者也以工资高低来衡量公司好坏，双方互相衡量，最后达至“分离均衡”。

另一种是，到最后，两种人也没完全区分出来，一些爱得不那么深的人也混在真爱中，继续花费成本发送信号对谁都不再值得，姑娘索性选一个人嫁了得了，这叫做“混同均衡”。“混同均衡”在现实生活中也很常见，比如小孩子上学，如果不是特别要去择校的话，他就是随便选一个学校就上学了，因为义务教育阶段的学校没什么好区分的，这就是“混同均衡”。

非完全信息的博弈在生活中处处可见。比如在足球比赛射点球时，射门的运动员是射左边还是射右边呢？没有哪个更好，踢球者只希望射门方向与门将扑球的方向相反；而门将所追求的，则是相同。这里没有纯策略均衡，只有混合策略均衡。也就是说，射门者最终只会以一定的概率去踢左边，一定的概率踢中间，一定的概率踢右边；而门将也会有一定的概率扑左边，一定概率不动，一定的概率扑右边。按照这种概率分布，存在均衡。

证明博弈中存在这样一个混合策略均衡，就是纳什的贡献。还拿射点球为例子，对于门将而言，他不知道射门者的偏好，只能是对这个偏好进行一个估计，如果是右撇子，他会估计说这个球员踢向门左侧的策略会大一些。那么，根据这一估计，他会以更大的概率按照这个方向去扑球。但是，射门的人完全有可能踢向另一个方向。

另外一个例子，就是出价买东西。买方喊出一个买价的时候，是不知道卖家心目中的合适价格的，怕喊高了；同样的道理，要是卖家喊价，也有可能喊低了。但是这个喊价无论出自卖方还是买方，都存在一个概率分布，这里有一个混合策略均衡。

这样的混合策略均衡甚至在宏大的政治经济层面也不鲜见。在政治上，比如革命的群体协作，你是否揭竿而起不仅取决于你相信政权有多么脆弱，还同时取决于你相信别人是否参与。在经济学上，一个很好的例子是银行挤兑，你是否挤兑不仅取决于你对银行有多信赖，也取决于你相信别人是否会挤兑。在这样的博弈中，其均衡点是动态的。

由于纳什均衡的提出和不断完善，博弈论开始广泛应用于经济学、管理学、社会学等学科中。不光是这些专业领域，我们在生活中打扑克、买东西、下围棋时，都有可能在不经意间运用了博弈论和纳什均衡。我们都不是科学家，但可以站在科学家的肩膀上，利用他们的研究成果帮助我们思考，帮助我们更好地生活。