你的论文准备往什么方向写，选题老师审核通过了没，有没有列个大纲让老师看一下写作方向？ 老师有没有和你说论文往哪个方向写比较好？写论文之前，一定要写个大纲，这样老师，好确 定了框架，避免以后论文修改过程中出现大改的情况！！ 学校的格式要求、写作规范要注意，否则很可能发回来重新改，你要还有什么不明白或不懂可以 问我，希望你能够顺利毕业，迈向新的人生。下面我就阐述一下对于本次开题报告的心得体会。 一、总体感受 刚从本科生跨入研究生的大门，我觉得很难自如地转变角色。以前是按部就班地上课、考试， 有老师计划性的安排。而现在全凭自觉，师傅领进门，修行靠个人，想要培养独立学习的习惯实 在是困难，而且学习动力不足，总是得过且过。今天我意识到，只靠鞭子抽打才会前进的耕牛， 即使最终完成任务，过程也注定艰辛。学长学姐们正在实习，教课已经很累了，还要写论文，确 实是很辛苦，所以有些人就想要敷衍了事。但是各位导师都是很有责任心的，对于每一篇开题报 告都仔细阅读并发现问题，给予学生建设性的指导，足见他们对学生的负责态度、对学术的严谨 作风、对自身本职工作的敬业精神。导师每一个建议都是多年经验的沉淀，对我们来说都是沉甸 甸的宝贵财富。所以，我认为，既然选定了研究生这条路，我就必须牢记“不忘初衷，方能始 终”这句话，踏踏实实地看书、学习、实践、搞研究，努力提高个人修养。而且我是教育硕士， 更肩负着国家教育事业的未来，因此，唯有不断提高自身理论水平，并应用于实践，在实践中总 结经验，做到研究实践两不误，才能成为一名合格的教育者。二、对于选题的思考“主题”是一篇论文的精髓，是眼睛，透过它不仅能读懂论文，更能窥探作者内心的思想。以下 是我的一些思考：1、选题一定要“新”。 所谓“新”，不是为了“新”而“新”，去凭空创造一个童话般的东西来研究，这只是在建 造空中楼阁，根本找不到坚固的支撑。我认为，新颖就是“横看成岭侧成峰，远近高低各不 同”，即视角新。暂且不谈其他领域和专业，仅就思想政治教育专业而言，我国的研究成果就数 不胜数，放眼望去，似乎找不到一块处女地来开发。恰恰是这些烟雾弹蒙蔽了我们的双眼，世界 上最创新、最独特的不就是我们自己吗？有谁可以完全复制我们吗？没有的，所以站在自己的视 角，用自己的亲身经历来思考问题，不要试图从别人身上挖掘漏洞来研究，自己的思想永远是别 人不可复制的创新点。今天几位导师反复提到，说我们是教育硕士，有机会在一线教学，这是学 术型研究生所不具备的条件，因此我们要充分利用这一优势，在自身教学实践中发现问题。我国 教育方面存在许多问题，仅仅站在理论层面去探讨是没有实际意义的，自己在教学中发现的问题 才是真正迫切需要解决的问题。此外，我们的专业是培养中学思想政治教育课老师，这就是一个 限定，我们专注于本学科，就应该在选题上突出学科特点，不能泛泛地谈论所有学科都出现的问 题。因此，关于我的论文选题，我认为需要经历一段教学实践才能提出更有价值、更新颖的观 点。2、选题一定要“精”。 所谓“精”是指把主题的范围缩小至精华，找准一个核心点来深入探究，就好像抛进水中一 块石头，我们不能只研究水面泛起的波纹多么美丽，重点应该是石头进入水中的状况。 俗话说，面面俱到就是面面不到。选题也是如此，作为一名研究生，我们的能力有限，国家、社 会层面的问题是我们力所不能及的，太过宽泛就是“假、大、空”，因此只要做好眼前就行了， 针对自己所教学科、年级甚至班级、某一节课出现的问题进行研究，范围越小就越出新，越能深 入挖掘，越能触及本质问题。例如有篇论文是《当代中学生孝道问题研究》，导师们说选题很 好，“孝道”问题是个新问题，但是界定的太过宽泛，可以缩小为“中学思想政治教育课中孝道 问题研究”，这样就提高了研究的深度。再如，论文《探究式教学在<文化生活>中的应用研 究》，导师指出，并不是《文化生活》中的每一节课都需要运用探究式教学，最好是细化到具体 某一节课来研究。当然，“精”也要把握好一定的尺度，要确保在精准的前提下有话可说，有东 西可挖。 3、选题一定要“准”。 所谓“准”就是界定准确。 一般理科类研究力求精准，用数字说话，不能有半点误差。人文科学虽然不能数量化，但是 许多概念很类似，多一字少一字就会改变原意，如果在选题上界定不准就容易在今后的研究中走 错方向。例如，有篇论文是《中职生心理健康教育中的现状、问题、策略研究》，导师提出， “心理健康教育”在这里是指狭义的“心理健康教育课”还是广义的“心理健康教育”，这两者 是差别迥异的，如果不界定清楚就会使读者误解。因此，搞学术研究要注意语言的准确性。 4、选题一定要“真”。 所谓“真”就是真实发生的、真切存在的。 在选题时我们往往为了追求创新点而无病呻吟，本来微不足道的问题也可以放大去谈，只因 为这个问题没人研究过。这是一个恶性循环，其弊端将是学术越来越偏离其实效性。前面已经提 到，教育硕士在撰写论文时一定要侧重实践研究，这是我们的特点，更是优势。所以要想选题 “真”，唯有实践，实践才能出真知。一篇论文就是一段教学经历的总结，亲眼看到的、亲耳听 到的第一手资料绝对比书上看来的更有价值、更有说服力。因此，我们该摒弃眼高手低的坏习 惯，低下头去身体力行，用行动做学问，用真心解决问题。 5、关于选题的其他问题 除了以上详细论述的问题之外，我认为选题还要注意一下几个方面：实际性、科学性、可行 性、合适性。导师没有重点讲解，我通过查阅课堂笔记整理了这么几点，认为也是值得借鉴的。 三、对于文献综述的思考 文献综述是写作前期进行大量准备工作的总结性报告，不仅要整理所读文献，还要提出自己 的见解。文献综述反映了作者阅读文献的广度和深度，因此我们需要注意一下几个问题： 1、文献尽量全面。我们说，老师要给学生一杯水，自己就要有一桶水，写论文亦是如此，只有 查阅了大量的相关文献我们才能全面地了解选题的发展动态，包括国外的和国内的，胸中没有足 够的墨水是难以写出有理有据的论文的。这就启示我要多读书、读好书，充分利用图书馆以及网 络资源，拓宽知识面。 2、选用较新的文献。我们的选题要推陈出新，参考文献也要与时俱进，紧跟学术发展潮流，筛 选出最新最近的文献，这样才能更好地体现时代特点，更容易我们结合实际。 3、选用具有代表性、科学性、可靠性的文献。老话说的好，病急乱投医。我们在写作时常常出 现这样的问题，凡是与选题相关的文献通通阅读，以至于找不到重点，甚至不考虑文献的可靠 性，结果就是“乱花渐欲迷人眼”，根本分不清楚孰好孰坏了。所以，选择文献要去权威机构搜 索，注意筛选，不可尽信。 4、要忠实于参考文献。我们常常有这样一种心理，就是所选资料都是为论文服务的，所以当出 现与论文观点不符的内容时，会选择性地篡改一些资料以满足论文。我自己也出现过这样的错 误。在以后的研究中，我们应尊重科学，保持严谨的科研态度，实事求是。 四、对于论文框架的思考 框架是整篇论文的骨架，是作者思路的反映。我认为在写论文框架时需要注意一下几个问题： 1、要思路清晰。包含两个方面，一是各个大标题的关联度。也就是说论文标题要有一定的顺序 性，比如常见的“目的-意义-现状-问题-策略”式，要符合逻辑，这个方面一般没有问题。二是 某一标题下内容的契合度。我们的论文会涉及三级标题甚至四级标题，层次越多就越容易混乱， 本应属于这一个标题的内容却写到了别的标题下，内容与标题的吻合度不高，似乎适合于这个标 题，又适合于那个标题。所以还是上文提到的，选题要准确，进而思路紧扣主题，都有极强的针 对性，这样就不容易混乱。 2、要分清主次。这一点还是要和选题结合起来。在今天的开题报告中普遍存在一个问题，那就 是本末倒置。大家都是基于自身实践提出一个问题进行研究，在行文时先介绍这个问题的相关理 论知识，比如目的、意义、原则等，然后开始谈论实践意义。思路是对的，只是在论述理论时篇 幅过长，这些理论都是前人总结好载入书籍的，没有必要再拿出来长篇大论，使人看不到新意， 好像是观点堆砌一样，实践部分本应是重点，却被忽视。这个现象在我们做论文时普遍存在，当 我们搜集到大量相关信息时就希望全都写到论文里面以显示自己多有水平，其实不然，这样会让 读者敬佩你的阅读量时认为你没有自我。所以搞研究还是要脚踏实地，多思考，多创造。 以上便是参加开题报告的心得体会，愿您一切安好！
开题报告就是你选题的一些简要介绍，让老师看看你的题目是否合理，准备的差不多。
开题报告是指开题者对科研课题的一种文字说明材料，是一种应用写作文体。它作为毕业论文答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。开题者把自己所选的课题的概况向有关专家、学者等进行陈述。然后由他们对科研课题进行评议，再由科研管理部门综合评议意见，确定是否批准选题。
开题报告包括综述、关键技术、可行性分析和时间安排等四个方面 。由于开题报告是用文字体现的论文总构想,因而篇幅不必过大,但要把计划研究的课题、如何研究、理论适用等主要问题写清楚。开题报告一般为表格式，它把要报告的每一项内容转换成相应的栏目，这样做，既避免遗漏；又便于评审者一目了然，把握要点。
开题报告是指开题者对科研课题的一种文字说明材料。这是一种新的应用写作文体，这种文字体裁是随着现代科学研究活动计划性的增强和科研选题程序化管理的需要而产生的。
开题者把自己所选的课题的概况(即"开题报告内容")，向有关专家、学者、科技人员进行陈述。然后由他们对科研课题进行评议。亦可采用"德尔菲法"评分；再由科研管理部门综合评议的意见，确定是否批准这一选题。开题报告作为毕业论文答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一
扩展资料：
开题报告包括综述、关键技术、可行性分析和时间安排等四个方面 。由于开题报告是用文字体现的论文总构想，因而篇幅不必过大，但要把计划研究的课题、如何研究、理论适用等主要问题写清楚。开题报告一般为表格式，它把要报告的每一项内容转换成相应的栏目，这样做，既避免遗漏；又便于评审者一目了然，把握要点。
开题报告的内容一般包括：题目、理论依据(毕业论文选题的目的与意义、国内外研究现状)、研究方案(研究目标、研究内容、研究方法、研究过程、拟解决的关键问题及创新点)、条件分析(仪器设备、协作单位及分工、人员配置)、课题负责人、起止时间、报告提纲等。
开题报告怎么写如下：
一、论文拟研究解决的问题
明确提出论文所要解决的具体学术问题，也就是论文拟定的创新点。明确指出国内外文献就这一问题已经提出的观点、结论、解决方法、阶段性成果。评述上述文献研究成果的不足。提出你的论文准备论证的观点或解决方法，简述初步理由。
你的观点或方法正是需要通过论文研究撰写所要论证的核心内容，提出和论证它是论文的目的和任务，因而并不是定论，研究中可能推翻，也可能得不出结果。
开题报告的目的就是要请专家帮助判断你所提出的问题是否值得研究，你准备论证的观点方法是否能够研究出来。一般提出3或4个问题，可以是一个大问题下的几个子问题，也可以是几个并行的相关问题。
二、国内外研究现状
内容要求：列举与论文拟研究解决的问题密切相关的前沿文献。基于“论文拟研究解决的问题”提出，允许有部分内容重复。只简单评述与论文拟研究解决的问题密切相关的前沿文献，其他相关文献评述则在文献综述中评述。
三、论文研究的目的与意义
简介论文所研究问题的基本概念和背景。简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题。简单阐述如果解决上述问题在学术上的推进或作用。基于论文拟研究解决的问题提出，允许有所重复。
四、论文研究主要内容
容要求：初步提出整个论文的写作大纲或内容结构。由此更能理解“论文拟研究解决的问题”不同于论文主要内容，而是论文的目的与核心。
打赢脱贫攻坚战的重大意义论文开头？从历史维度看，如期打赢脱贫攻坚战将在中华民族几千年历史发展中首次整体消除绝对贫困现象中华文明历史悠久，中国的济贫历史同样久远。早在先秦时期，中国就有“夫施与贫困者，此世之所谓仁义”的观点和论述。在儒家文化影响下，古代中国逐渐形成了以民本、大同思想为基础的慈善传统，开展了以个体、邻里、宗族、会社、机构及政府为主体的慈善救助行为，为近现代中国慈善救助事业发展奠定了思想和实践基础。近代以来，以孙中山为代表的爱国人士提出民生和社会救助思想，倡导建立了以政府为主导的社会救助制度，形成了近代中国国家社会救助制度的雏形。但是这些努力无法从根本上改变旧中国积贫积弱、普遍处于绝对贫困状态的现实。历史和人民选择了中国共产党。我们中国共产党人从党成立之日起就确立了为天下劳苦人民谋幸福的目标。1949年，中华人民共和国成立标志着中国人民从此站起来了，社会主义制度的建立为消除贫困奠定了制度基础。1978年，中国开启改革开放进程。1986年，国务院贫困地区经济开发领导小组（1993年改为国务院扶贫开发领导小组办公室）成立，标志着中国开始启动大规模、有计划、有组织的扶贫开发。1993年以来，国家开始实施《国家八七扶贫攻坚计划（1994-2000年）》《中国农村扶贫开发纲要（2001-2010年）》《中国农村扶贫开发纲要（2011-2020年）》。新中国成立后特别是改革开放以来，中国减贫成就举世瞩目。然而至2012年底，根据现行贫困标准全国还有近亿农村贫困人口，消除绝对贫困现象依然任重道远。党的十八大以来，党中央从全面建成小康社会要求出发，把扶贫开发工作纳入“五位一体”总体布局、“四个全面”战略布局，作为实现第一个百年奋斗目标的重点任务，作出一系列重大部署和安排，全面打响脱贫攻坚战。脱贫攻坚力度之大、规模之广、影响之深，前所未有，取得了决定性进展。党的十九大对脱贫攻坚作出新部署。《中共中央国务院关于打赢脱贫攻坚战三年行动的指导意见》指出，以更有力的行动、更扎实的工作，集中力量攻克贫困的难中之难、坚中之坚，确保坚决打赢脱贫这场对如期全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标具有决定性意义的攻坚战。3年后如期实现现行标准下农村贫困人口脱贫、贫困县全部摘帽、解决区域性整体贫困的脱贫攻坚目标，将在中华民族几千年历史发展中首次整体消除绝对贫困现象。从政治维度看，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会是我们党的庄严承诺打赢脱贫攻坚战是中国共产党的执政宗旨、政治优势和制度优势的充分彰显。一大批党员干部深入基层发动群众，以精准扶贫新理念，为贫困群众办实事、好事，帮助贫困群众摆脱贫困，改变贫困现状，以实际行动回应群众的基本需求，通过把扶贫同扶志、扶智结合起来，采取宣传引导、政策激励、典型示范、村规民约等多种方式，把群众的积极性主动性调动起来，不断增强贫困群众在参与中的主体感、获得感，促进他们传统观念的改变。这正是全心全意为人民服务根本宗旨的充分体现，必然使党群关系、干群关系更加密切，巩固共产党的执政基础。打赢脱贫攻坚战成为培养锤炼干部和人才的重要平台。到贫困村和群众一起脱贫攻坚，是培养锻炼干部的重要形式之一。脱贫攻坚各种政策的落实，为人才培养提供了具体支撑。第一书记、驻村干部不仅有事干，而且有条件干事、干成事，这对于年轻干部是非常难得的锻炼机会，对于他们人生观、价值观、世界观的形成无疑是有价值的。把干部锻炼培养和脱贫攻坚结合起来，把真正能干的干部派下去，若干年后，这些干部中就会出现一批对乡村有感情、懂农村、懂农民的国家治理骨干，这是我们党的宝贵财富，是脱贫攻坚的重要价值体现。打赢脱贫攻坚战是营造良好社会氛围的重要途径。实践证明，脱贫攻坚对整个社会扶贫济困氛围形成、社会主义核心价值观的培育、营造更和谐的发展氛围，都是重要抓手和载体。东西部扶贫协作，东部地区在支持西部地区减贫发展的同时，拓展了自身发展空间，彰显了社会主义实现共同富裕的价值取向。中央国家机关单位定点扶贫，不仅为定点帮扶县带来资金项目、新理念新思路、新技术和新市场，而且定点扶贫成为中央国家企事业单位干部了解农村、密切干群关系、培养锻炼干部的重要平台和渠道。广泛动员民营经济、社会组织、公民个人参与脱贫攻坚，激发了人们内心深处扶贫济困的情感，在帮扶中促进了社会和谐发展。打赢脱贫攻坚战是对整个人类都具有重大意义的伟业。新时代脱贫攻坚展现了我国贫困治理体系的巨大价值：以实施综合性扶贫策略回应发展中国家扶贫问题的复杂性和艰巨性；发挥政府在减贫中的主导作用以回应全球依靠经济增长带动减贫弱化的普遍趋势；我国在实践中逐步形成并经过大规模实践检验的自上而下、分级负责、逐级分解与自下而上、村民民主评议相结合的精准识别机制，为有效解决贫困瞄准这一世界难题提供了科学方法。脱贫攻坚不仅成为中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信、文化自信的生动写照，而且成为全球反贫困事业的亮丽风景。
脱贫攻坚是我国当前最重要的一项任务，也是我党的使命，带领全国人民实现同步小康，消除贫困，是我党对人民的承诺。
第一，要根据实际情况投入发展相关产业，而不是单纯的给钱。 第二，根据实际情况制定完善计划，而不是无目的消耗。 第三，严格控制和监督扶贫项目，防止腐败。 第四，加大对相关地区的政策支持和互相帮助。
写一下你研究这个问题的出发点，想达到一个什么样的成果，主要是写作动机，就是你为什么要研究乌鲁木齐的就业现状。
课题来源主要是写你导师课题的内容，国家级课题，973，国家自然基金课题等，或者是省局级课题，注明方面就可以，还要写上课题名称，即你导师课题的名称。
第一次数学危机编辑简介从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。引起不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击，换句话说，如果希帕索斯发现的无理数真的存在，那么古希腊的数学理论体系就完全崩溃了。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。危机产物古典逻辑与欧氏几何学亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响。亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的“无穷大”和实在的“无穷大”加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。诞生非欧几何学的诞生欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，像是一条定理。欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。首先，要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事，并且这种不可能性是可以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其他公设，也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头，但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型；德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高维空间上。因此，从十九世纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性，但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派，如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，不过这已无关大局了。非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。3第二次数学危机编辑简介早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。新问题到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用范围的广泛性，微积分成为了解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是繁琐。但也正是因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。建立基础十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。十九世纪七十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。同时，魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。4第三次数学危机编辑简介经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”。罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。再次产物数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。为了排除集合论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯——哥德尔集合论公理体系。希尔伯特还建立了元数学。作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理。美国杰出数学家哥德尔于20世纪30年代提出了不完全性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。参考来源：望采纳~~~
数学悖论与三次数学危机陈基耿摘要：数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1]。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机第一次数学危机的内容公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比）， 除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3]，也就是我们所说的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a2=b2+c2，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？显然d不是整数，那它必是两整数之比。希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明[4]，用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。第一次数学危机的影响毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[5]，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的[6]。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。2贝克莱悖论与第二次数学危机第二次数学危机的内容公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。例如牛顿当时是这样求函数y＝xn的导数的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n•xn-1•△x＋[n（n+1）/2]•xn-2•(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y ，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn ]/△x＝n•xn-1＋[n（n-1）/2] •xn-2•△x＋……＋n•x•（△x）n-2＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数y=xn的导数为y′=nxn-1。对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用△x为除数除以△y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明△x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。[8]这就是著名的“贝克莱悖论”。确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。第二次数学危机的影响[8]第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。极限的ε－δ定义就是用静态的ε－δ刻画动态极限，用有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。3罗素悖论与第三次数学危机第三次数学危机的内容在前两次数学危机解决后不到30年即19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了集合论,集合论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布[9]：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论。之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论[10]。理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子。同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。这就是历史上著名的罗素悖论。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。第三次数学危机的影响罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础——集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决。罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道[11]：“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。”可见第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地。然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。如以罗素为主要代表的逻辑主义学派[12]，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯•诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统）[5]，在ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理集合论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续[7]。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。4结语历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一。第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和集合论三大理论的产生和完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上；第三次数学危机，使集合论成为一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们便不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单是给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：已有的悖论和危机消除了，又产生新的悖论和危机。但是人的认识是发展的，悖论或危机迟早都能获得解决。“产生悖论和危机，然后努力解决它们，而后又产生新的悖论和危机。”这是一个无穷反复的过程，也就不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。参考文献：[1] 师琼,王保红.悖论及其意义[J].中共山西省委党校学报,2005,28（4）:76～78.[2] 赵院娥,乔淑莉.悖论及其对数学发展的影响[J].延安大学学报(自然科学版),2004,2(1):21～25.[3] 李春兰.试论数学史上的第一次危机及其影响[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2006,19(1):88～90.[4] 梁伟.试析悖论与数学史上三次危机及其方法论意义[J].科技资讯,2005,(27):187～188.[5] 王方汉.历史上的三次数学危机[J].数学通报,2002,(5):42～43.[6] 胡作玄.第三次数学危机[M].四川：四川人民出版社,1985,1～108.[7] 黄燕玲,代贤军.悖论对数学发展的影响[J].河池师专学报,2003, 23(4):62～64. 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理想很丰满，现实却很骨感。 的确，每个人都会幻想，每个人也都有自己的理想，不管是大的还是小的，好的还是坏的，总会有自己的想法，这是好的。但是不能把自己沉浸在幻想中，也不能只是空想自己的理想，要成功就要走回现实中，在现实中努力拼搏才可以完成理想，不然只能是空谈。 所以“现实一点”算是一个忠告，但还要看你如何领悟，一千个人就有一千个哈姆雷特，你也有你自己的想法，要怎么做要看你自己。
我觉得要兼而取之，要现实也要幻想。这样的审题立意才能得到二类卷。 现实一点，保持清醒，不要一味地自我陶醉.现实一点，因为人生没有如果，只有后果和结果，所以应脚踏实地地立足现实。但不要让“现实一点”束缚你自由奔跑的双腿，而应勇敢地为实现梦想而奋斗。“现实一点”黯淡了人与人之间的真情。“现实一点”扭曲了人的价值观。 所以要现实也要理想。你可以第一段引材料，表达自己要现实也要理想的观点。第二段写现实的好处和坏处。第三段写幻想的好处和坏处。第四段写现实+理想=成功。自己适当举例......第五段联系实际，谈谈社会现象啊！自己啊！之类的第六段有点诗意的结尾，可以排比，也可以呼应开头... 希望对你有用。
答案是多财的
因症状就医治疗预后日常概述丁景新百科医典专家团复旦大学附属妇产科医院 主任医师参与编审复旦大学“十大优秀医生”，帼创新奖，三八红旗手，国家自然科学基金评议人，SCI论文第一作者盆腔组织薄弱导致子宫脱出阴道口外病因包括妊娠、分娩、衰老等非手术治疗为主，严重者需手术轻度患者不及时治疗可发展为重度疾病定义子宫脱垂（uterine prolapse）是指子宫从正常位置沿阴道下降，部分或全部脱出阴道口以外，由于盆腔筋膜、韧带和肌肉松弛、薄弱，不能为子宫提供足够的支持所致。轻者一般无症状，重者可出现腰骶部酸痛或下坠感，并有肿物自阴道脱出。流行病学任何年龄的女性都可发生，常见于经历过一次或多次分娩的绝经后妇女。525分享反馈下一节：病因以上内容由丁景新教授参与编审病因丁景新百科医典专家团复旦大学附属妇产科医院 主任医师参与编审复旦大学“十大优秀医生”，帼创新奖，三八红旗手，国家自然科学基金评议人，SCI论文第一作者这是一种盆底功能障碍性疾病。子宫脱垂主要是由于盆腔筋膜、韧带、肌肉等松弛、薄弱，对子宫的支撑力量减弱所致。造成支持组织松弛薄弱的原因有分娩创伤、衰老等。多次阴道分娩史、子宫脱垂家族史等是子宫脱垂发生的高危因素。基本病因妊娠、分娩阴道分娩，特别是难产及产钳助产、胎吸助产等，产妇的盆腔筋膜、韧带和肌肉可能因过度牵拉而使其支撑力量被削弱。产后过早参加体力劳动，特别是重体力劳动，将影响盆底组织张力的恢复而发生子宫脱垂。衰老随着年龄的增长，特别是绝经后雌激素水平降低，支持结构萎缩，可造成盆底松弛从而引起子宫脱垂。腹腔内压力增加慢性咳嗽或慢性支气管炎、腹腔积液、腹型肥胖、持续负重或便秘等可造成腹腔内压力增加，导致脱垂。医源性原因没有充分纠正手术时所造成的盆腔支持结构的缺损。诱发因素以下因素可能增加子宫脱垂的风险。多次阴道分娩。盆腔做过手术或接受过放射治疗。家族史，家庭成员患有子宫脱垂。低龄的时候有过生育。白人或西班牙裔人。吸烟。818分享反馈上一节：概述下一节：症状以上内容由丁景新教授参与编审症状丁景新百科医典专家团复旦大学附属妇产科医院 主任医师参与编审复旦大学“十大优秀医生”，帼创新奖，三八红旗手，国家自然科学基金评议人，SCI论文第一作者脱垂程度较轻者一般可无症状，重度者可有腰骶部酸痛或下坠感，并有肿物自阴道脱出。可能会伴发排尿、排便异常。典型症状腰骶酸痛及下坠感由于韧带筋膜有牵拉，盆腔充血，可出现不同程度的腰骶部酸痛或下坠感，站立过久或劳累后症状明显，卧床休息则症状减轻。肿物自阴道脱出常在走路、下蹲、排便等腹压增加时，阴道口有肿物脱出。开始时肿物在平卧休息时可变小或消失，严重者休息后亦不能回缩，需用手还纳至阴道内。若脱出的子宫及阴道黏膜水肿，用手还纳也有困难，导致子宫长期脱出在阴道口外，可使患者行动极为不便；且长期摩擦可出现宫颈溃疡甚至出血，如发生感染则有脓性分泌物。性欲减退子宫脱垂患者可有性欲减退，性交时感到阴道深部疼痛。其他子宫脱垂不管程度多重一般不影响月经，轻度子宫脱垂也不影响受孕、妊娠和分娩。伴随症状排尿异常子宫脱垂伴有膀胱、尿道膨出的患者，易出现排尿困难、尿潴留或压力性尿失禁等症状，如继发泌尿道感染可出现小便频繁、尿急、排尿疼痛等。排便异常如合并有直肠膨出，患者可出现便秘、排便困难。
第一次数学危机编辑简介从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。引起不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击，换句话说，如果希帕索斯发现的无理数真的存在，那么古希腊的数学理论体系就完全崩溃了。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。危机产物古典逻辑与欧氏几何学亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响。亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的“无穷大”和实在的“无穷大”加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。诞生非欧几何学的诞生欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，像是一条定理。欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。首先，要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事，并且这种不可能性是可以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其他公设，也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头，但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型；德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高维空间上。因此，从十九世纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性，但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派，如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，不过这已无关大局了。非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。3第二次数学危机编辑简介早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。新问题到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用范围的广泛性，微积分成为了解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是繁琐。但也正是因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。建立基础十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。十九世纪七十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。同时，魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。4第三次数学危机编辑简介经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”。罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。再次产物数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。为了排除集合论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯——哥德尔集合论公理体系。希尔伯特还建立了元数学。作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理。美国杰出数学家哥德尔于20世纪30年代提出了不完全性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。参考来源：望采纳~~~
欧拉公式证明：R+ V- E= 2。
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。
e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。
欧拉让微积分长大成人：
恩格斯曾说，微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中公开发表他的微积分学说，几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文，但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。
18世纪一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为“分析”的广大领域。李文林说：“欧拉就生活在这个分析的时代。
如果说在此之前数学是代数、几何二雄并峙，欧拉和18世纪其他一批数学家的工作则使得数学形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。如果没有他们的工作，微积分不可能春色满园，也许会打不开局面而荒芜凋零。欧拉在其中的贡献是基础性的，被尊为‘分析的化身’。”
就写老师给的
欧拉公式有4条 （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。当θ=π时，成为e＾iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。（3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2p p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 等等