矩阵正定性的性质：
1、正定矩阵的特征值都是正数。
2、正定矩阵的主元也都是正数。
3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。
4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。
相关信息：
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：A是正定矩阵；A的一切顺序主子式均为正；A的一切主子式均为正；A的特征值均为正。
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
对于对称矩阵A,若对任意非零向量x，都有x*AX>0成立，则称A为正定。如果A是正定矩阵，那么a[i][i]一定大于0。因为，a[i][i]=ei*Aei>0.其中，ei为第i个单位向量。
雅可比行列式有哪些性质
相信正定矩阵的定义楼主很清楚。定义矩阵的正定性是根据二次型来的，这也就是说明正定矩阵的性质反映了一个二次表达式的性质，从另一个角度讲这也给我们提供了一个二次表达式的矩阵表示方法。在最初学函数的时候，我们学过配方法，其实化一个二次型为标准二次型的时候也是利用这个原理，只不过我们通过矩阵的手段来进行计算同时还用到了满值线性变换的一些知识。其实在数学理论中更愿意研究Hermite二次型的正定问题，因为Hermite矩阵（A=AH（表示共轭转置矩阵））更能和一些工程学科相结合。另外在数值计算科学中也经常会用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数矩阵是正定的情况下对任意初始向量是收敛的。从工程学科来说，举一个控制系统为例，如果可以找到一个利亚普诺夫函数使得它的倒数是负定（也就是说倒数的相反数是正定的）那么这个系统就是渐进稳定的。
我明白这个道理你选涡
伴随矩阵的性质与应用的Word文档,我给你!!!其实论文任何一个课题的研究或开发都是有学科基础或技术基础的。综述部分主要阐述选题在相应学科领域中的发展进程和研究方向，特别是近年来的发展趋势和最新成果。可以帮你写个提纲或者开题要吗？
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合[1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则[2] 。矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词[3] 。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的[2] 。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具[4] 。
矩阵秩的性质矩阵满秩有什么性质行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关，一个矩阵的行秩等于列秩，所以如果是方阵，行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵,则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩,记为r（A），根据这个定义,矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是,矩阵的阶梯形并不是唯一的,但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。设A是n阶矩阵,若r（A）=n,则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵，行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，我们称这种矩阵为单位矩阵，简称单位阵。它是个方阵，除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外全都为0。在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。
矩阵秩的性质如下：
1. max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B) ，特别的，当 B=b 为非零列向量时，有 R(A)⩽R(A,b)⩽R(A)+1
推导过程：
的最高阶非零子式总是的非零子式同理可知，令，且令，则，和中分别含有个和个非零行从而可知，中最大非零行个数为综上所述，∵A的最高阶非零子式总是(A,B)的非零子式∴R(A)⩽R(A,B)同理可知，R(B)⩽R(A,B)∴max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)令，(A,B)→(A′,B′)A→A′B→B′且令，R(A′)=rR(B′)=t则，A′和B′中分别含有r个和t个非零行从而可知，(A′,B′)中最大非零行个数为r+t∴R(A,B)=R(A′,B′)⩽R(A′)+R(B′)=R(A)+R(B)综上所述，max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B)
2. R(A+B)⩽R(A)+R(B)R(A+B)⩽R(A+B,B)=R(A,B)⩽R(A)+R(B)
推导过程：
设为矩阵则对矩阵作初等行变换由秩的性质一可知，设A,B为m×n矩阵则对矩阵(A+BB)作初等行变换ri−rm+i(i=1,2,⋯,m/2)∴(A+BB)→r(AB)由秩的性质一可知，R(A+B)⩽R(A+BB)=R(AB)=R(AT,BT)T=R(AT,BT)⩽R(AT)+R(BT)=R(A)+R(B)
3. R(AB)⩽min[R(A),R(B)]
推导过程：
设可知矩阵方程有解根据矩阵方程定理六（矩阵方程有解的充分必要条件是）可知而由秩的性质一可知故，又可知矩阵方程有解根据矩阵方程定理六（矩阵方程有解的充分必要条件是）可知而由秩的性质一可知故，又且综上所述，设AB=C可知矩阵方程AX=C有解X=B根据矩阵方程定理六（矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)）可知R(A)=R(A,C)而由秩的性质一可知max[R(A),R(C)]⩽R(A,C)⩽R(A)+R(C)故，R(C)⩽R(A,C)∴R(C)⩽R(A)又∵(AB)T=BTAT=CT可知矩阵方程BTX=CT有解X=AT根据矩阵方程定理六（矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)）可知R(BT)=R(BT,CT)而由秩的性质一可知max[R(BT),R(CT)]⩽R(BT,CT)⩽R(BT)+R(CT)故，R(CT)⩽R(BT,CT)∴R(CT)⩽R(BT)又∵R(B)=R(BT)且R(CT)=R(C)∴R(C)⩽R(B)综上所述，R(C)⩽min[R(A),R(B)]
4.若 Am×nBn×l=O ，则 R(A)+R(B)⩽n
推导过程：
记又因故即，该方程表明为齐次方程的解设为齐次方程的解集则，故，由秩的定理七可知（定理七：设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的秩），得证
r(AB)与r(A),r(B)的关系小!设A为m*n矩阵;B为n*k矩阵;r(A)=a,r(B)=b;0≤r(AB)≤min(a,b);这与他们是不是N阶矩阵无关!!
行满秩矩阵就是行向量线性无关列满秩矩阵就是列向量线性无关一个矩阵的行秩等于列秩,所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的.
我今天刚看完书…… 相似必合同,合同必等价 等价就是矩阵拥有相同的r, 矩阵合同,CtAC(Ct为转置)=B,矩阵乘以可逆矩阵他的r不变,r(B)=r(CtAC)=r(AC)=r（A）,等价.同理两矩阵相似一定等价 矩阵相似一定合同,因为两矩阵相似,有相同的特征多项式和特征根,就一定有相同的r,惯性系数一定相同,可以化成相同的标准形,矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩阵,结合定义即可推出,太难打了自己理解谢谢）,标准形相等规范形一定相等,所以相似一定合同
简单分析一下即可，答案如图所示
两个合同矩阵的共同点：
1、这两个矩阵的正负惯性指数相同；
2、这个两个矩阵的秩相同
3、这个两个矩阵均是实对称矩阵。
合同矩阵的性质：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；
2、对称性：矩阵A合同于矩阵B，则可以推出矩阵B合同于矩阵A；
3、传递性：矩阵A合同于矩阵B，矩阵B合同于矩阵C，则可以推出矩阵A合同于矩阵C。
扩展资料：
矩阵合同的判别
1、设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
2、设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
参考资料来源：百度百科-合同矩阵
当矩阵A经过若干套初等变换而化为矩阵B时，则称为A合同于B,记为。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。
矩阵的合同是在讨论用（对称）矩阵表示二次型的问题中产生的。所谓一套初等变换，是指将某一种初等变换首先对一个矩阵的第i列（行）施行而得一矩阵，然后再对此所得矩阵的第i行（列）施行又得一矩阵。
第一、二、三套初等交换，分别由第一、二、三种初等变换组成。两个n阶矩阵A与B合同，必要而且只要有非奇异矩阵P使P┡AP＝B。与对称矩阵合同之矩阵仍为对称矩阵。
每个秩数为r的实对称矩阵A恒合同于一个对角矩阵，其对角线上有p个1与q个－1；其他的对角线元素均为0，这里p≥0,q≥0，p+q=r，而且p与q都是由A所惟一确定的。
实对称矩阵的特征根恒为实数。实对称矩阵A能合同于而又相似于一个对角矩阵，其对角线元素恰为A的全部特征根。与单位矩阵合同的实对称矩阵，称为正定矩阵。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合[1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则[2] 。矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词[3] 。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的[2] 。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具[4] 。
正交矩阵是满足下列条件的矩阵A称为正交矩阵：A的行向量组成的基底称为A的行正交基，A的列向量组成的基底称为A的列正交基，A的所有行列向量都组成正交基，A的正交性是本身性质，与A的列和行有关，即A的所有行都是正交阵，则称A是正交矩阵。A称为正交矩阵，若A的列向量组成的基底为A的行正交基，A的行向量组成的基底为A的列正交基，A的所有行列向量都组成正交基，则称A是正交矩阵。
正交矩阵乘正交矩阵还是正交矩阵，但是正交矩阵相加相减不一定还是正交矩阵。
正交矩阵的每一个行(列)向量都是模为1的，并且任意两个行(列)向量是正交的，即所有的行(列)向量组成R^n的一组标准正交基。正交矩阵每个元素绝对值都小于等于1，如果有一个元素为1，那么这个元素所在的行列的其余元素一定都为零。
扩展资料：
注意事项：
由于向量组内向量均不为0，只需要在等式两边随便乘上一个向量即可，假设乘的是a1。由于与其他向量两两正交，所以其他项全为0。
由于a1不为0，那么必然不为0，要使得等式成立，只能是λ1为0。也就是说向量a，在规范正交基下某一个维度的坐标， 等于和整个维度的正交基向量的内积。
参考资料来源：百度百科-正交矩阵