实数完备性定理论文相关文献

你先告诉我你所说是下面的哪个（2已知，关键是另一个），然后我再考虑1.(连续性,dedekind)实轴的切割不产生新的点。2.(连续性,bolzano)实数集的非空上有界子集必有上确界。3.(连续性)单调有界数列必收敛。4.(连续性,cantor)闭区间套非空。5.(紧性,weierstrass)有界数列必有收敛子列。6.(紧性,heine-borel)有界闭区间的开覆盖有有限子覆盖7.(完备性,cauchy)实轴上的基本序列收敛。顺便提一句，连续性、紧性、完备性只在欧氏空间等价，所以不要混用。1楼看来真是全忘了，这个是数学分析的基础，不是实分析，虽然没必要去区分这两者。ok.就证这两个。2=>5:若数列a_n落在区间[-m,m]上，考察集合a={x:[-m-2,x]包含a_n的最多有限项}那么a非空(至少包含-m-1)且上有界(m是一个上界)，必存在上确界，记u=supa。在(u,u+1)中取a_n的一项a_k_1。在(u,u+1/m)中取a_n一项a_k_m，使得k_m>k_{m-1}，由a的定义，这样的项肯定存在。这样找到了a_n的一个子列a_k_m，容易用极限的定义说明a_k_m收敛到u。5=>2:设x是实数集的非空上有界子集，y是它的上界全体。(此构造同样适用于1=>2，并且是直接得结论)若x有最大值，那么supx=maxx，即上确界存在。以下讨论x没有最大值的情况。在x中任取一点记为a_0，在y中任取一点记为b_0。取c_n=(a_n+b_n)/2，若x中存在比c_n大的元素a，那么a_{n+1}=a，b_{n+1}=b_n；否则a_{n+1}=a_n，b_{n+1}=c_n。于是b_n是一个有界数列(a_0<=b_n<=b_0)，必有收敛子列b_k_n->u。(注意，这里最关键的是u的存在性)然后利用极限的保序性质(因为极限存在，只要用极限的定义就可以说明)，对x的任意元素a，a<=b_k_n得到a<=u，于是u是x的一个上界。任取e>0，由于02的方法同样适用于3=>2、4=>2、7=>2，只要说明b_n有极限就可以了。2)实数理论最关键的是说明一些数的存在性，在已知数列极限存在的时候，很多结论的证明只需要极限的定义就够了。这些定理的等价性证完以后没必要把任意两个单独抽出来证，除非你在训练自己的思维。本来7步就可以证出所有等价性，去收集另外35个证明没啥用处。