黎曼函数的连续性研究论文

规定x=0可写成0/1，因为x=1可写成1/1，x=2可写成2/1，....，x=k可写成k/1，此时R(x)=1，即x=0，1，2，...k，周期为1，所以黎曼函数又可写成：

证明：∀x0∈(-∞，+∞)，lim(x→x0)R(x)=0，即R(x)在一切无理点连续，在有理点不连续.

证：由R(x)周期性，只考虑[0,1]中的点，即证x0∈[0,1]，lim(x→x0)R(x)=0.

在[0,1]中，分母为1的数：0/1，1/1

分母为2的数：1/2

分母为3的数：1/3，2/3

…

分母为k的数：至多k个，k是正整数

对任意正整数k，[0,1]上分母≤k的有理数有限个

由函数极限定义：

∀ε＞0，找δ＞0，记k=[1/ε]，在[0,1]中分母≤k的有理数记为r1，r2，…，rn

令δ=min{|ri-x0|} (1≤i≤n，ri≠x0)

∀x∈[0,1](0＜|x-x0|＜δ)：

(i)x无理数，R(x)=0

(ii)x有理数，分母＞k  (前面规定k有限，这里分母＞k理所当然)

k=[1/ε]，x的分母≥[1/ε]+1，则R(x)≤1/([1/ε]+1)＜1/1/ε=ε

合起来就有

|R(x)-0|＜ε

∴lim(x→x0)R(x)=0.

结论：黎曼函数在无理数连续，在很小一部分有理数不连续.

∀ε＞0，在[0,1]上R(x)≥ε的点至多有限个.

由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在[0,1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数。

黎曼函数在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。

函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。

相关信息：

根据定义可知，黎曼函数的函数图象应该是一系列松散的点，而非连续曲线，这是因为它一方面处处极限为0，另一方面在任意的小区间中，都包含着无数个值不为0的点。通常来说，黎曼函数的图像是由它在函数值最大的有限个有理点的值组成的散点图来逼近的。

从黎曼函数的图像中可以看出，函数值比较大的点是很稀疏的，随着函数值的减小，点在横向和纵向上都变得越来越密集。

根据图像的特点，黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数。