齐次微分毕业论文

此篇读书笔记对应于《 Ordinary Differential Equations 》（Arnold，3rd）第一章（Basic Concepts）第六节（Symmetries）。 上一节 中阐述了一个理论：对微分方程进行换元，等价于用一个微分同胚去变换该微分方程所对应的相速矢量场。但说了大量理论，我们知道了换元的理论基础，但怎么换元呢？拿到一个微分方程，如何找到合适的换元方法呢？我们仍然一头雾水。 本节考虑一种简单的微分方程——（准）齐次方程，并探讨这种微分方程的换元方法。 考虑以下方程：令 ，则 ，代入原方程化简可得 ，从而实现分离变量，得到积分曲线 。 等式(1)的左侧可看作是“一阶/一阶”，故为零阶，同理右侧也为零阶。这种微分方程被称为 「齐次方程（homogeneous equation）」 。 「对称（symmetry）」： 若向量场 经微分同胚 变换后不变（即 ），则 是关于向量场 的对称变换，而 在 的作用下 「不变（invariant）」 。 「对称群（symmetric group）」： 若向量场 在微分同胚群中每个变换的作用下都不变，则该微分同胚群称为对称群，向量场 「容许（admit）」 这个对称群。 「齐次函数」： （Ⅰ）定义：若函数 满足 ，则称函数 为 阶齐次函数。（Ⅱ）判定方法（Euler关系）：对定义式求 在 处的导数，可得函数 为 阶齐次函数的另一充要条件： ，也称为Euler关系。对于多变量函数，Euler关系可表达为： 。 其中，一个多项式 是 阶齐次多项式，必须使每一项满足 。 例如，对于函数 ， ，代入Euler关系，可知函数 是2阶齐次函数。 「齐次（homogeneous）微分方程」： （Ⅰ）定义：若某个微分方程所对应的相速矢量场在单参数 「膨胀（dilation）」 变换（即 ， 坐标都乘上 ）的作用下不变，则该微分方程为齐次微分方程；（Ⅱ）判定方法： 为齐次微分方程 ⇔ 等式右侧为0阶齐次函数。 对于齐次微分方程， 可通过变换 将方程简化为分离变量的微分方程 。 「σ过程（σ-process）」： 将 坐标变换到 坐标或者 的过程称为σ过程，或 「原点膨胀（inflating the point 0）」 。 「准齐次膨胀（quasi-homogeneous dilation）」： 。其中 分别称为 的 「权重（weight）」 。记 。 「准齐次函数（quasi-homogeneous function）」： （Ⅰ）定义：若函数 满足 ，则称函数 为 阶准齐次函数；（Ⅱ）判定方法（Euler关系）： 。 其中，一个多项式 是准齐次多项式，必须满使每一项满足 。例如，多项式 是权重 的准齐次多项式。 「准齐次方程（quasi-homogeneous equation）」： （Ⅰ）定义：若某个微分方程所对应的相速矢量场在单参数准齐次膨胀变换下不变，则该微分方程为准齐次方程；（Ⅱ）判定方法： 为准齐次方程 ⇔ 等式右侧为 阶准齐次方程，且 。 对于准齐次方程， 可通过变换 将方程简化为分离变量的微分方程 。 在 理论生态学原理及应用读书笔记第八节 中曾简单地提到标度律（scaling law），类似于这里的 「相似性条件（similarity consideration）」 。相似性条件指出，某个函数经膨胀变换后，其对应的导数也会发生变化。 将准齐次膨胀变换 作用于函数 上，变为函数 ，则 。 【 证明 】令 ， 因而 两遍对 求导，可得 ，如此反复，故 。 再次回到这句话： 即，要求解微分方程， 第一步是换元，第二步是积分 。问题是，如何找到合适的换元方法呢？本节展示了对于齐次与准齐次方程而言如何换元。然而，对于其他微分方程，又怎么找到合适的换元方法呢？书上列出了相关的参考书：《Problems in Differential Equations》（A. F. Filippov）、《Differentialgleichungen reeller Funktionen》（E. Kamke）。 但也要注意，（1）有些微分方程没有解析解；（2）即使有些微分方程有解析解，但实在太复杂，以至于很难解读出实际意义。 ► 求微分方程的解析解，第一步是换元，第二步是积分。 ► 齐次微分方程可用变换 转变为分离变量的方程。 ► 准齐次微分方程可用变换 转变为分离变量的方程。 ► 方程 是准齐次方程 ⇔  。上一篇： 读书笔记：常微分方程（三）——微分同胚 下一篇： 读书笔记：常微分方程（五）——整流定理