两类曲线积分的探究毕业论文

本质上来说的话，第二类曲线积分是求变力沿曲线做的功。第一类曲线积分是求曲线物体的质量。从微积分学角度来说的话，第一类曲线积分是对曲线的线密度积分，就是质量。第二类曲线积分是曲线对力的作用效果积分，也就是功。但区别在于它质量是固定值，没有负的，而功虽然也是标量，但它有正负，所以对力的作用效果积分的路径要有个方向，如果是反向，功自然变为相反数。至于功，是力的矢量与位移的矢量的内积，力的矢量就是第二类曲线积分的被积向量值函数，而所谓位移就微分成路径的切向量，这样在每一点的力矢与径矢的数量积都是功元素。（这里要说明一下，如果路径是反向的话，那么力矢与径矢的数量积也变为相反数，这就是为什么第二类曲线积分路径如果变为反向积分值也会变为反向的本质原因！）对这条曲线上的所有功元素积分，就是变力沿曲线所做的功！而至于两类曲线积分的联系，说白了，你把第二类曲线积分每一点的单位切向量拿出来和向量值函数做数量积，然后就变成第一类曲线积分了。哈哈，虽然不知道这么久了楼主能不能看到这条回复，不过对我也是有帮助的，我刚刚预习自学完曲线积分曲面积分这部分，有这么一点薄见，希望看到的人能受到启发吧

12两类曲面积分之间的关系

哥们给你都说了吧：第一类曲线积分，可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做，但是单纯的第一类曲线积分和二重积分没有关系，只有通过转化为第二类曲线积分后，要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件，可以用公式转化为简单的曲面积分，再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算，这是第一类曲线积分和二重积分关系，但是第一类曲线积分和三重积分么有任何关系……第一类曲面积分，可以通过公式变换，将dS转化为dxdy，直接转化为二重积分来做，但是和三重积分没有任何关系，只有通过转化为第二类曲面积分，满足了高斯公式条件，才能用高斯公式转化为三重积分来计算曲线积分与定积分，曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式，意思是在曲线上或曲面上进行积分的，而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分，所以要将第一类曲线积分，第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分，另外既然给定了曲线或曲面方程，就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系，因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的，所以要满足给定的曲线或曲面的方程，所以各个量之间可以代换的，这个普通的定积分和二重积分不能这么做的……第一类曲线积分：对线段的曲线积分，有积分顺序，下限永远小于上限……求解时米有第二类曲线积分简单，需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式，进行积分，这个公式书里面有的，就是对参数求导，然后再表示成平分和的根式……第二类曲线积分：对坐标的曲线积分，没有积分顺序，意思是积分上下限可以颠倒了……第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换，余弦值指的是线段的切向量，这个书本里面的，我就不写了第一类曲面积分：对面积的曲面积分，求解时要通过给定的曲面方程形式，转化成x与y的形式，这个公式书里面也有的，就是求偏导吧？然后表示成平方和根式的形式第二类曲面积分：对坐标的曲线积分，这个简单一些，好好看看就可以了两类曲面积分的联系：可以用余弦代换，但是这个余弦是曲面的法向量下面给出第一类曲线积分和第一类曲面积分的联系，方便你记忆：都是要转化成在xyz坐标面上的积分，都是平方和的根式形式，但是第一类曲线积分是对参数求导，第一类曲面积分是求偏导，为何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直线代替曲线，相当于正方体求对角线，你想想是不是，肯定要出现平方和的根式，你好好看看推导过程……第二类曲线积分与第二类曲面积分的关系：第二类曲线积分如果封闭的话，可以用格林公式或斯托克斯公式化简第二类曲面积分如果封闭的话，可以用高斯公式进行化简这些东西很有趣的，你要学会对应的记忆啊……

是不是小萍的题目啊？我也跪求啊~~

首先，对这部分内容的整体把握。

前面提到：对弧长的曲线积分有一应用是计算线密度为曲线形变量的某元件的质量。我们便基于此来说明。 为了计算质量，我们依据 取微元 的思想，将曲线形元件分为长度趋于0的n个弧段。由于弧段足够的短，于是用弧段上某点的线密度代替弧段上其他各处的线密度。再知道各弧段的长度，我们便可以计算各弧段的质量。由此，我们将每个线段的质量相加，便得到了元件的总质量。 于是我们建立一个直角坐标系，用函数来描述元件的形状和线密度。由于每段的质量=线密度*长度。已知了线密度是与坐标（x，y）相关的值，我们还要找到长度与坐标（x，y）的关系，这样才方便计算。

正如上面所提到的，我们需要找到每段长度 与坐标 的关系。依据 以直代曲 的思想，显然有 。我们将元件的弧线方程写成参数方程的形式有 ，其中 又有 所以 的近似值 （即弧微分）有如下形式 。

于是，我们便得到了 其中 和 分别表示小弧段两端的 值。 根据积分中值定理定理，又有 其中 ， 于是，我们便得到 （这里我们直接将小弧段的线密度用 点的线密度替换）。上式显然是函数 在区间 上的定积分。所以 又根据定义（请自行翻阅书籍），我们将第一类定积分记作 ，所以有

对以上内容进行比较简单的记忆便是：在计算第一类曲线积分的时候，最重要的是搞清楚弧微分应该怎么表示出来。在直角坐标系，参数方程的情况下弧微分为 在极坐标情况下弧微分为 所以曲线积分为

同上，我们可以用计算变力沿曲线做功的例子来帮助理解。但为了说明方便，在此我使用恒力沿曲线做功的例子来说明，即相当于表示力的函数（被积函数）为常数。对于变力的情况，可以用沿用上面微元的方法加以类推。 首先，我们考虑熟悉的平抛运动，求重力在此过程中做的功。很明显这符合对坐标的曲线积分的情况，被积函数为重力，积分路径为曲线。如果用数学的思维和表达式求这个曲线积分，可以写为求 L为平抛轨迹的方程，用向量值函数表示重力 可知 ， 。然后用第二类曲线积分的计算法对 求解。 但是如果我们在此用物理的思维，便是用 。 接着，我们考虑一个诡异的运动：还是平抛，但有一个力的形式如下： 我们需要求这个力做功。依照上面，用数学表达式即为，求 在物理方法中，有两种思路。一为，直接求力和位移的数量积。二为，将力分解为 方向和 方向，分别求两方向的做功然后相加。 我们比较数学方式和物理形式，可以将其对应起来 最后再以一个比较数学的题目来进一步说明如何理解对坐标的曲线积分：计算 ，其中 为抛物线 上从 到 的一段弧。 转换成物理语言便是：求变力 沿曲线做的功。而 对应的便是 方向做的功， 对应的便是 方向做的功。

在此我不在对计算方法予以推导，我想说的是：在进行计算的时候，不按照书上方式将对 ， 的积分和都化为对 或 或参数 的积分，而是像物理里面一样， ， 两个方向分开来看也是可行且合理的。 计算对坐标的曲线积分的核心便是把每部分（或整体）的被积函数中的自变量和积分变量相统一。

如果明白了以上内容，那理解两类曲线积分之间的联系就是水到渠成的事情。 我们知道，第二类曲线积分可以看作变力沿曲线做功。那么类似的，我们可以把第一类曲线积分也看作变力沿曲线做功，只是这个变力很是特殊，它与曲线的轨迹 时时相切 。 基于以上理解，我们可以想到，正是由于变力与曲线时时相切，其做功便可以直接相乘（ ）。因此，我们可以将 中的 看作力的大小的函数。 便是小段的位移。 基于以上理解，我们想将第二类曲线积分化为第一类曲线积分的形式，我们要如何做呢。这时候我们想到，在物理里面，求力做功不仅可以把力和位移都分解为沿 和 方向，还可以 直接求力和位移的数量积 或是 将力投影到位移方向 。 于是，我们将力投影到位移方向。但是由于一般给出的力的形式 都是沿 轴和 轴分解，所以我们做这两个分方向的力的投影到位移上，可知 下图为以上公式来源的示意图。

上述公式 左边 可以理解为 将力和位移都分解为 和 方向分别求解再相加来求功 ， 右边 可以理解为 将力投影到位移方向再相乘求功 。 于是，我们也可以理解了书上的公式 等式 左边 表示 力与位移的数量积的方式求功 ， 右边 表示 力投影到位移方向求功 。

（未完待续）