伯努利不等式的应用毕业论文

(1+x)^n=1+nx+n(n-1)x^2/(1×2)+n(n-1)(n-2)x^3/(1×2×3)+...+x^n舍掉等式右边第三项及其以后的各项，就可以得到贝努利不等式：(1+x)^n>1+nx（n∈n，n>1）该不等式不仅当n是正整数的时候成立，而且当n是任何大于1的实数的时候也成立。贝努利不等式可以用于放缩法。

伯努利不等式是说：对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1， 有 (1+x)^n≥1+nx 成立；如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x成立。 可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有 严格不等式： (1+x)^n＞1+nx。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。编辑本段证明 设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx. 证明: 用数学归纳法: 当n=1,上个式子成立, 设对n-1,有: (1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立, 则 (1+x)^n =(1+x)^(n-1)(1+x) >=[1+(n-1)x](1+x) =1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 >=1+nx 就是对一切的自然数,当 x>=-1,有 (1+x)^n>=1+nx 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx 若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx 这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下： 如果r=0，1，则结论是显然的 如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0; 下面分情况讨论： 1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于 ? 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。 2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于 ? 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx 证毕

数学中的伯努利不等式是说：对实数x>-1，在n≥1时，有 (1+x)n≥1+nx 成立；在0≤n≤1时，有(1+x)^n≤1+nx成立。可以看到等号成立当且仅当n = 0,1，或x = 0时。伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。伯努利不等式的一般式为(1+x1+x2+x3···+xn)< =(1+x1)(1+x2)(1+x3)···(1+xn)，（对于任意1 <= i,j <= n, 都有xi >= -1且sign(xi) = sign(xj),即所有xi同号且大于等于-1） 当且仅当n=1时等号成立注：x后的字母或数字为下标