正定矩阵的判定毕业论文目录

一、正定矩阵判定：

1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。

3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

二、判定一个矩阵半正定：

1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。

三、负定矩阵判定：

1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。

2、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。

4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。

扩展资料：

正定性

n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量

对应的二次型:

若Q>0就称A为正定矩阵。若 Q<0则A是一个负定矩阵，若Q>=0则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵  。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。

实对称矩阵A是负定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX负定。矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。若矩阵A是n阶负定矩阵，则A的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0。

实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，有X'AX≥0；

参考资料：百度百科-矩阵

参考资料：百度百科-半正定矩阵

参考资料：百度百科-负定矩阵

特征值全为正数的矩阵为正定矩阵。反之，特征值全为负数的矩阵为负定矩阵。

正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵，其等价条件是：

1、AA是半正定的；

2、AA的所有主子式均为非负的'；

3、AA的特征值均为非负的；

4、存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；

5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。

正定矩阵有以下性质：

1、正定矩阵的行列式恒为正；

2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；

5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

1、行列式法

对于给定的二次型

写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

扩展资料：

正定矩阵的判定：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。