实对称正定矩阵毕业论文

正定矩阵是由于区分二元二次多项式的矩阵而引进的，而二元二次多项式的矩阵都是实对称矩阵，所以正定矩阵的定义上就要求其是实对称矩阵

在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式。

正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

扩展资料：

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：A是正定矩阵；A的一切顺序主子式均为正；A的一切主子式均为正；A的特征值均为正。

对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。

我晕,这个证明是一篇论文里的结论.关于定型实对称矩阵的行列式的一个结论( 长江师范学院数学系, 重庆408100)杨世显下面的由于百度文字编辑的限制,可能看得有些困难.建议自己去找一下原版.实在不行给我留言我传给你摘要: 本文利用度量矩阵和分块矩阵的相关知识, 得到了定型实对称矩阵的行列式与它的主对角线元素的一个不等式。关键词: 实对称矩阵度量矩阵厄米特正交化分块矩阵行列式实对称矩阵是高等代数中一个重要的内容, 所谓定型实对称矩阵是指正定、负定、半正定和半负定矩阵, 我们首先回顾一下本文将用到的有关实对称矩阵的一些结论:性质1: 一个实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆方阵C, 使得A=C′C。性质2: 一个实对称矩阵A半正定的充要条件是它的所有主子式都大于等于零。性质3: 一个实对称矩阵A负定( 半负定) 的充要条件是- A为正定( 半正定) 。性质4: n维欧氏空间中, 一组基ε1,ε2, ⋯,εn的度量矩阵A=(aij), 其中aij=(εi,εj)为实对称矩阵, 而且矩阵A是正定的。性质5: n维欧氏空间中, 两组基ε1,ε2, ⋯,εn和η1 ,η2, ⋯,ηn的度量矩阵分别为A和B, 那么A和B是合同的, 即若(η1,η2 ,⋯,ηn ) =(ε1,ε2, ⋯,εn)C, 则有B=C′AC。本文要证明的主要定理为:定理1: A=(aij)为n阶正定矩阵, 则有detA≤nk=1∏akk为了证明定理1, 先证明一个引理:引理:ε1,ε2, ⋯,εn是n维欧氏空间的一组基,ε1,ε2, ⋯,εn经过厄米特正交化变为η1 ,η2 , ⋯,ηn, 记G(ε1,ε2, ⋯,εn)为ε1 ,ε2 ,⋯,εn的度量矩阵, 证明:detG(ε1,ε2, ⋯,εn)=detG(η1,η2 , ⋯,ηn)=|η1|2·|η2|2·⋯·|ηn|2证明: 假设A为从ε1,ε2, ⋯,εn到η1,η2, ⋯,ηn的过渡矩阵, 即:(η1 ,η2, ⋯,ηn)=(ε1 ,ε2, ⋯,εn)A则由上面性质5知G(η1,η2, ⋯,ηn)=A′G(ε1,ε2 , ⋯,εn)A ( 1)依题意η1,η2, ⋯,ηn是由ε1,ε2, ⋯,εn经过厄米特正交化得到, 所以有:η1=ε1;η2=ε2-(ε2 ,η1)(η1,η1)η1;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ηn=εn-(εn ,η1)(η1,η1)η1- ⋯-(εn,ηn- 1)(ηn- 1,ηn- 1)ηn- 1。于是可知A为上三角矩阵, 且主对角线上的元素都是1, 即A=1 * ⋯ *0 1 ⋯ *⋯ ⋯ # ⋯0 0 ⋯$%%&’(()1, 同时可知A′=1 0 ⋯ 0* 1 ⋯ 0⋯ ⋯ # ⋯* * ⋯$%%&’(()1, 所以detA′=detA=1。由(1)式有:detG(η1,η2 , ⋯,ηn)=det(A′G(ε1,ε2 , ⋯,εn)A)=detA′·detG(ε1,ε, ⋯,εn)·detA=detG(ε1,ε2 , ⋯,εn)因为η1,η2, ⋯,ηn是正交向量组, 所以G(η1,η2 , ⋯,ηn)为对角矩阵, 且:detG(η1,η2, ⋯,ηn)=|η1|2·|η2|2·⋯·|ηn|2即: detG(ε1 , ε2 , ⋯ , εn)=detG(η1 , η2 , ⋯ , ηn)=|η1| 2·|η2 | 2·⋯·|ηn|2, 证毕。定理1的证明: 依题意, A=( aij) 为n阶正定矩阵, 所以由性质1知存在可逆方阵C, 使得A=C′C。设矩阵C的n个列向量分别为α1,α2 , ⋯,αn, 利用分快矩阵的乘法有:A=C′C=α1′α2′’αn$%%%&’((()′(α1 ,α2, ⋯,αn)=α1′α1α1′α2 ⋯ α1′αnα2′α1α2′α2 ⋯ α2′αn⋯ ⋯ ⋯ ⋯αn′α1αn′α2⋯ αn′αn$%%%&’((()=(α1,α1) (α1,α2) ⋯ (α1,αn)(α2,α1) (α2,α2) ⋯ (α2,αn)⋯ ⋯ ⋯ ⋯(αn,α1) (αn,α2) ⋯ (αn,αn$%%%&’((())( 2)因为矩阵为可逆方阵, 所以α1,α2 , ⋯,αn为线性无关的向量组, 也就可以看作Rn的一组基, 那么矩阵A就是α1 ,α2, ⋯,αn的度量矩阵。假设将α1 ,α2, ⋯,αn进行厄米特正交化得到向量组β1,β2 , ⋯,βn, 则由引理的条件知道:det A=|β1|2·|β2|2·⋯·|βn|2因为β1 ,β2 , ⋯,βn是由α1 ,α2 , ⋯,αn经过厄米特正交化得来, 它们有如下关系:β1=α1 ;β2=α2-(α2,β1)(β1,β1)β1;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯βn=αn-(αn,β1)(β1,β1)β1- ⋯-(αn ,βn- 1)(βn- 1,βn- 1)βn- 1。用β1,β2, ⋯,βn表示α1,α2 , ⋯,αn有:α1=β1 ;α2=β2+(α2,β1)(β1,β1)β1;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯αn=βn+(αn,β1)(β1,β1)β1+⋯+(αn ,βn- 1)(βn- 1,βn- 1)βn- 1因为β1,β2, ⋯,βn两两正交, 所以有:|α1|=|β1|;|α2|= β2+(α2,β1)(β1,β1)β1=|β2|+(α2,β1)(β1,β1)β1≥|β2|;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯|αn|= βn+(αn,β1)(β1,β1)β1+⋯+(αn ,βn- 1)(βn- 1,βn- 1)βn- 1=|βn|+(αn ,β1)(β1 ,β1)β1+⋯+(αn,βn- 1)(βn- 1,βn- 1)βn- 1≥|βn|所以: det A=|β1|2·|β2|2·⋯·|βn|2≤|α1|2≤|α1|2·|α2|2·⋯·|αn|2,由(2)式容易知道|ak|2=akk,即: det A≤nk=1∏akk, 证毕。我们知道一个半正定矩阵A=( aij) 的行列式一定大于或等于零, 而且当det A>0时, A一定正定; 同时半正定矩阵A的主对角线上的元素akk(1≤k≤n)都是非负实数, 所以在det A=0时,不等式det A≤nk=1∏akk显然成立。综上所述以及定理1, 有:推论1: A=( aij) 为n阶半正定矩阵, 则有det A≤nk=1∏akk。对于半负定或负定矩阵A=( aij) , 我们知道- A为半正定或者正定的, 于是:推论2: A=(aij)为n阶半负定( 负定) 矩阵, 当n为偶数时, 有det A≤nk=1∏akk; 当n为奇数时, 有det A≥nk=1∏akk。证明: 若A=(aij)为半负定矩阵, 则- A=(- aij)为半正定矩阵,由推论1有:det (- A)≤nk=1∏(- akk)$(- 1)ndetA≤(- 1)nnk=1∏akk$det A≤nk=1∏akk, n为奇数,det A≥nk=1∏akk, n为偶数%’&’(,证毕。参考文献:[ 1] 北京大学数学力学系.高等代数( 第三版) [M] .北京:高等教育出版社, 2003.

实对称矩阵是“母”概念。正定矩阵是“子”概念。正定矩阵是实对称矩阵的一种。实对称矩阵还包括负定、半正定、半负定矩阵。

不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）。

因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。

如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M，只要其满足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1 -1;1 1] ，A=[1 0;0 1]。但如果M不是厄米特矩阵，一般不讨论他的正定性。

例如：

A=[1 1;-1,1]

这个矩阵满足对于任意实非零向量向量x=(x1,x2)，有x^TAx>0，因此是正定的。

如果一个矩阵A是正定的，那么对称矩阵B=(A+A^T）/2也是正定的，这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。

对于任意对称矩阵B，我们可以对其进行卡氏分解。

对于复系数矩阵，我们有B=(A+A*）/2为正定矩阵。

（1）正定矩阵的行列式恒为正；

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。