非线性方程求根的迭代法研究论文

一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理 以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得 f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0) 所以方程可写成 f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0 其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项） x = x0 - f(x0) / f'(x0) 其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为： x(k+1) = x(k) - f(x(k))/ f'(x(k)) 根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。第一次迭代x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)，其中f(x0)/ f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。第二次迭代x2= x1 - f(x1)/ f'(x1)，其中f(x1)/ f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。

function x=Newton(fname,dfname,x0,e,N)%用途：Newton迭代法解非线性方程f(x)=0%fname和dfname分别表示f(x)及其导函数的M函数句柄或内嵌函数表达式%x0为迭代初值，e为精度（默认值1e-7）%x为返回数值解，并显示计算过程，设置迭代次数上限N以防发散（默认500次）%实例：解方程ln(x+sin(x))=0%在matlab窗口中输入：Newton(@(x)log(x+sin(x)),@(x)(1+cos(x))/(x+sin(x)),)if nargin<5,N=500;endif nargin<4,e=1e-7;endx=x0;x0=x+2*e;k=0;fprintf('x[%d]=%\n',k,x)while abs(x0-x)>e&&k