高中数学科普文章

我在小学和初中的时候，喜欢在家里读书，不是什么正经书，大部分是我爸买的各种闲书（.武侠小说，言情小说等等）。然后我记得有一本书的名字就叫做《数学的魅力》，里面讲了很多有名的数学问题，不过都是那种小学生初中生都能看懂的问题；我记得里面提到过尺规作图三大不能问题，提到到古希腊的数学和当时的很多有名数学问题，提到过后来的五次方程求根公式——在此过程中顺便提到了卡尔丹的那个三次方程求根公式，里面用到了虚数，然后作者评论说：“即使三个根全是实根，求根公式仍然绕不开虚数，需要经由虚数的王国才能到达实数的世界；数学家们由此被迫接受虚数。” 然后还提到古埃及人喜欢把分数拆分成1/n形式的分数的和，他们认为1/n形式的分数才是好的分数，唯有2/3是个例外？然后开始讨论如何把分数拆分成分子为1的分数之和才能使得拆分式的最大分母最小，或者使项数最少。然后也提到了圆周率的一些级数表达式（当时我当然不知道那个东西叫级数，只知道看起来很漂亮。）当然里面提到的最有名的一个问题是费马大定理，那本书很老，估计是我爸从什么二手书摊上淘来的，它说费马大定理还没有被解决（所以估计是90年代初以前出版的书），然后讲了这个定理的证明历程，他比喻说各个年代的数学家用各种不同方法去解决这个问题，“有的正面进攻，有的试图挖墙角绕过这堵高墙”，然后也提到了这是个“下金蛋的母鸡”。巧的是，后来我在小学课本上还是初中课本上的科普文章中，看到了怀尔斯解决费马大定理的故事，当时还是觉得挺震惊、挺神奇的——原来书本上那些未解决的难题，还是可能被我们这个时代的人解决的嘛！ 不过很可惜的是，这本堪称启蒙我数学兴趣的小书，至今再也找不到了。我也尝试在网上搜过，搜不到一样的版本，可能是因为太老了。你要明白，一个小学生，第一次接触“超越数”、“连分数”、“黄金分割比”这种概念的时候，他会觉得数学是一门多么美、多么漂亮、多么有意思的学问啊！ 这种感觉，就像知乎的宣传标语一样，仿佛打开了一个新世界的大门，从此再也不愿意出去了 。我还记得小学时候跟同桌争辩，说负数可以开根号，“等你以后学到虚数就知道了”，她还一脸不屑的表情；还记得跟同学科普，“天气预报是通过解微分方程来实现的”，虽然我当时压根不知道什么叫微分方程。。不过说实话，当时还是对物理、对相对论这种话题更感兴趣（跟很多民科类似，捂脸。。），初中的时候反反复复看高中物理教材狭义相对论的章节，流连忘返，脑子里面闪过各种神奇的图像。有人可能知道我在其他网络平台用过爱因斯坦的网名，主要也是因为一开始接触到相对论的时候感觉很震撼，所以自然而然地成了老爱的粉丝。 至于后来么，高中数学成绩一直很好（当然不能跟竞赛党比。。），进了大学以后数学成绩还是很好，既然有能力学又有原动力（兴趣）学，那为什么不学呢？于是就这么愉快的决定了。现在也慢慢成熟了，不再是当年那个数学孩童了，看待数学自然也发生了变化——比如认识到数学比我想象的艰深很多，比如认识到初等数学以外还有更庞大的现代数学体系，数学也不仅仅是“有趣的事实之集合”，而是建立在公理、逻辑与证明之上，依托想象与灵感、以及踏踏实实的计算／分析／论证等等的一门大学问。从此不再是刘姥姥进大观园似的的“看”数学，而是认认真真地“做”数学；这个过程自然会辛苦很多，但是收获也很多。 很多人喜欢数学的原因可能确实是做出数学题会有成就感，但我喜欢数学的过程真不是通过做题，而是从小接触了一些有趣的数学事实，从而很早很早就产生了对数学的兴趣。反观我自己并不长的人生经历，我真诚感谢那些投身数学科普工作的人士，因为好的数学科普书真的能够激发小孩子对数学的兴趣。我也希望能够消除社会上对数学以及数学工作者的一些误解／偏见／刻板印象；套用柯洁在人机大战后对围棋的评论：“其实，数学真的没那么难（这句话大概不一定对。。），学数学真的是一件很有意思的事情（这句话大概是对的）”

一、立志是学习动力的源泉 微生物学家、化学家巴斯德说过：“立志、工作、成功是人类活动的三大要素。立志是走向成功的大门，工作是登堂入室的旅程，这旅程的尽头就有一个成功在等待，来庆贺你努力的结果。” 作为一个高中学生，应该学会把握时代的脉博，面向未来，立振兴祖国之志，立自我成才之志，还要逐步培养和树立自己的专业方面的志向和理想。有了远大的志向抱负，就有力争上游、奋斗成才的强大动力，刻苦学习，努力争取优异的成绩。 二、跨越好从初中到高中的学习台阶 初、高中之间，在知识上有它的连续性。初中所学过的知识，都是高中学习的知识基础。但是，跟初中比较起来，高中各学科在知识广度、内容深度上有明显的提高。因此，认识高、初中在学习内容、学习方法等方面有什么不同，做好思想准备，并主动积极地创造条件，尽快适应各科学习，是非常必要的。 相对初中的学习，高中的学习跨越了知识和能力两大台阶。高中的知识内容与知识结构与初中相比出现了两个飞跃：从具体到抽象，从特殊到一般，在知识的广度和深度上都大大提高。在能力方面，高中的学习对同学们提出了更高的要求，如抽象概括思维能力、逻辑推理思维能力、分析综合能力、自学能力等等都要求有较大的发展和提高。 从初中阶段进入到高中阶段，在学习上要跨上一个较高的台阶。为了顺利地跨越这一台阶，我们要有足够的思想准备，要以新的、不同于初中的学习方法，学好高中的课程。 三、寻找一套适合自己的学习方法 学习方法是多种多样的，每个同学都应根据自己的特点，逐步摸索出一套适合自己的好的学习方法。下面提出一些高中阶段一般较为适合的学习方法，供同学们参考。 1.努力做到全面发展与培养个性特长相结合 中学生应该德、智、体、美全面发展。就学科学习来说，也要全面发展。语文、英语作为语言文字的基本工具，数学作为运算的基本工具，首先必须学好；物理、化学、生物、计算机，作为现代科技的基础，也要努力学好；政治课的学习，能使我们确立正确的政治方向和科学的世界观、人生观，历史、地理知识以及音乐、美术等艺术科目，对于文化修养和思想境界的提高，以及培养对高雅艺术的欣赏鉴别能力的发展，都是不可缺少的。 作为一个中学生，在全面发展的基础上，也要培养自己的个性特长。培养自己的个性特长，有两方面的含义。一是对自己准备选考的X科目，既要培养对它的兴趣，又要努力把这个X科目学得较好。第二个含义是要有自己特别热爱的领域或技能，如电脑技术、书法、绘画、音乐、体育等，力争达到较高的水平。要摆脱那种千人一面的传统轨道，让自己的个性、创新精神和潜在才华得到发展。你有哪一项特长，你就在那一项活动及其相关的竞赛或考试中一显身手，展示你的才华。 2.学会读书 成功的学问家，都有着迷地读书的特点。“读书破万卷，下笔如有神。”作为中学生，读书，首先要读好课本，然后还要进行广泛的课外阅读。 (1)正确使用课本 课本，是教与学的根据。要学习好各个学科，必须重视并学会阅读课本。有些同学不知道应该怎样使用课本，往往只是在课后从书本中找出解题的公式，把习题做出来，就以为是读了课本了。这种用书的方法，在高中是决不可行的。在不同的学习环节中，都要阅读课本，但有不同的要求。 在上课前，最好先预习课本中将要讲授的内容，这一遍是略读，只要知道将要讲什么就可以了，有不明白之处记下来，课堂上认真听明白它。预习是为了使听课心中有数，提高听课效率。 课后第一件事不是做练习，而是阅读课文。课后复习，是消化阶段，是自己进行深入理解、分析综合的积极思维过程，必须及时地、仔细地、逐字逐句地阅读课本，并在此基础上，动脑动手，积极消化。 最后，在学完每章之后，还应把整章课文再阅读，做一个全章总结，把全章内容整理成有纲有目的系统内容，有系统地掌握它。这是一种知识归纳。 (2)广泛的课外阅读 除了精读课本外，为了开拓自己的视野，培养自学能力，还应进行广泛的课外阅读，特别是科普书籍和报刊。对科普报刊上的文章，除了自己特别有兴趣的可以精读外，一般只要泛读就可以了。在泛读中可能遇到一些自己读不懂或读得不太懂的问题，这不要紧，从阅读中知道有这么一回事，也是有益处的，这种阅读的主要意义在于扩大你的知识面，活跃你的思维。 3.认真做好实验 实验是物理、化学生物等学科的基础和最重要的研究方法。在学习物理、化学、生物等学科时，实验可以帮助我们理解和巩固有关知识。因此，必须学会实验。在高中，我们怎样会科学实验呢？ （1）要认真学好历史上的著名实验。学习这些历史上著名实验的实验方法、实验原理和实验装置，可以启发我们自己的思路，使我们在自己进行实验时可以进行借鉴，吸取其精华，并认识到对现象的认真观察和科学归纳的重要性。（2）正确观察演示实验。课堂上的演示实验，是教师进行操作，引导我们正确观察、从实验中分析总结得出规律的实验。这时我们虽然没有机会动手，但在实验的过程中，可以充分地看和听，还可以充分地思考。观察演示实验。首先要认真听清老师关于为什么要做这个实验和怎样安排实验的讲解，明确实验目的，知道要考虑哪些因素，排除什么干扰，用什么仪器，它们的作用如何等等。在演示的过程中，要看清每个步骤的目的、操作过程、现象变化过程、怎样做可以获得成功、怎样将导致失败等等。总之，看演示实验，要认真观察和思考，把注意力放在观察和思考实验目的、原理、装置、实验操作步骤和变化过程上，而不能单看实验结果，更不能只觉得好看、好玩就心满意足了。（3）认真动手做好实验。教学中安排的学生实验，是极为宝贵的学习机会。百闻不如一见，更不如一做，要真正掌握实验技能，必须通过自己的实践。怎样动手做好实验呢？那就要做到“六要六不要”：一要预习，明确实验目的、原理、步骤，做到胸有全局。不要心中无数，实验中手忙脚乱，实验后对实验结果茫茫然。 二要理解仪器性能及使用注意事项，爱护仪器。不要随意玩弄，任意乱用。 三要仔细观察实验现象及变化过程细节，透过现象看本质。不要粗心大意看热闹。四要操作规范，养成良好的实验素养，这是获得准确的实验结果和取得实验成功的保证。不要随心所欲、胡乱操作甚至损坏仪器。 五要既动手又动脑，不但在操作上下功夫，而且积极动脑深入思考为什么要这样做，不要光做不思考。六要认真处理实验数据，分析实验结果，找出产生误差的原因，填好实验报告。不要潦草马虎，为了得到满意结果而拼凑数据。4.养成做练习的良好习惯和规范 做练习是高中学习中的重要环节，历来为同学们所重视，它对透彻理解和巩固所学知识，培养应用知识解决实际问题的能力，都起很大的作用。要做好练习，必须有良好的习惯。如果只追求解题的答案和数量，陷入题海中，必然收效甚微。理解掌握基础知识，是正确完成练习的前提条件。基本概念、规律是解题的依据。不会解题或解题错误，常常是因为基本概念和规律没有理解好的缘故。做练习的正确方法和良好习惯应是怎样的呢？ 首先要认真审阅题目。例如在解物理题时，首先应认真分析研究对象和物理过程。要仔细阅读题目中每一句，每一个概念，每一个数字，每一个单位，使自己清楚题意。然后确定研究对象是哪个物体或哪个系统，这些对象经历什么过程，从而确定解题的目标和依据。 画草图是帮助我们分析题目，使题目形象化、具体化的途径。要把已知条件和未知量一一列出。练习题中的已知条件，有的是直接给出为已知数，有的不是直接给出，而是间接给出，隐含在一些给出的数值或信息中，要通过分析，根据一些相互关系，才能求出来。 根据题意分析，找出各物理量之间的变化关系、确定解题的物理公式。要特别注意某些习题中的近似条件或发生转折的临界状态。还要注意许多物理习题，由于思考的角度和思路不同，选择的研究对象不同，运用的物理公式和数学方法不同，可有几种不同的解法。做习题时，进行一题多解的练习是很有必要的。通过对各种解法加以分析比较，不但能使知识融会贯通，而且能学会选择最简捷、最巧妙的解法。 在运算中，必须统一单位制。 解物理习题，不能一解出结果就认为达到目的了，还要研究这些结果是否合理，是否已经齐全，是否有取值范围，等等。必须确认答案已经全面合理，正确无误，解题才算结束。 做练习时，要注意培养认真严谨的学风，做到表达规范。练习、测验经老师批改发回后，不能只看分数，要认真研究老师批改中指出的问题，检查发现自己在理解和运用知识方面的漏洞和错误，及时补上和改正。应建立一个错题记录，仔细分析原因，找出相应的薄弱知识点加以强化，这样才有可能避免犯同样的错误。5.掌握记忆的方法学习中，有大量的知识都要求我们记忆，以便随时可以拿出来加以应用。怎样才能迅速、完整、准确地记住它们呢？ 理解是记忆的基础。进入了高中阶段，更要强调在加深理解的基础上进行记忆，在理解和记忆结合上有更高的要求。理科的概念和规律有些似乎简单，有些则很抽象、复杂，不论如何，在学习时都应加以分析，弄清来龙去脉，突出要素，抓住关键，这样就能加深印象，可以在达到理解的同时记忆下来，并在分析和解决问题时能灵活运用了。（突出重点记忆法） 在研究某些问题时，许多概念、规律往往成组出现。在学习时除了弄清它们的来龙去脉，还应纵横比较，弄清如何得来，如何应用，如何从一些公式推出另一些公式，还应将它们与有关的相类似的公式从形式上、内容上、特征上加以比较鉴别。可以进行列表类比、知识归类，掌握知识的内在联系和相互区别。这样，对较为复杂的内容，也能理出体系和线索，并能清晰地记忆和运用它们。（对比联系归类记忆法） 反复自我捡查，反复应用，是巩固记忆的必要步骤。每节课后的复习、单元复习、解题应用、实验操作、学期学年复习，都应有计划做好安排，才能不断巩固自己的记忆。四.把学知识和学方法结合起来，发展能力 学习中，不但要掌握各科的基础知识，而且要与学习一些科学的研究方法结合起来，培养有效地从事学习、工作和探索未知事物的能力。有了这些能力，就可以学得快而好，长大后就有更强的独立工作能力和发明创造能力。在解题时，不能只会解就算了，而是要提高到掌握解题的基本方法的高度。在高中阶段，要培养的能力是多方面的，下面主要谈谈观察能力、思维能力、实践动手能力，以及创新精神和创造能力的培养问题。观察能力 一个有较强的观察能力的学生，在观察实验时和自己做实验时，就能抓住过程和现象的特征，能够敏锐地发现一些原来设想不到的或有细微差别的现象，也能从周围的日常生活中获得很多的知识。怎样培养自己的观察能力呢？ 观察时必须目的明确、专心致志，抓住观察现象的特征。对实验的每一步骤，都要明确主要是探索或验证什么，把观察的注意力集中到这点上。观察还必须精细，留心有什么新的现象发生，而不是浮光掠影、视而不见。我们还要敏于观察，对一些现象还要反复观察。在观察过程中积极思考，在实践中就能不断提高自己的观察能力。 思维能力 思维能力是各种能力的核心。思维包括分析、综合、概括、抽象、推理、想象等过程。应通过概念的形成、规律的得出、模型的建立、知识的应用等培养思维能力。因此，在学习过程中，不但要学到知识，还要学到科学的思维方法，发展思维能力。 要提高思维能力，就要经常用比较法进行学习。首先，在学习每一个新概念时，不但听老师讲解，还要自己进行比较，找出相似的例子，加深认识。第二，学到意义相近的概念、规律时加以比较，从多角度、多方面分析其区别与联系。经常用比较法进行学习，可以学会全面分析问题，从多种事物发现它们的联系、区别和各自特征，使思维的广阔性和深刻性得到提高。 实践动手能力 学习中既要善于动脑，也要善于动手。实际操作能力主要指能够做出东西来，并且养成一系列有关智力的意志品质(如事前设计好操作步骤、能正确使用仪器和工具、注意准确和精密、及早纠正偏差或迅速改用更合理的方案等)。课堂上做好分组实验和随堂小实验，在课外积极参加各种创意实验设计和科技发明创造活动，都能使自己的实践动手能力得到很好的提高。在课堂、课外的实验和各项设计、制作活动中，都要努力和现代信息技术的应用结合起来，培养收集、处理和利用信息的能力。 创新精神和创造能力 培养自己的创造才能，首先要学会发现问题，敢于提出问题。爱因斯坦说过：“发现问题往往比解决问题更重要。”要敢于对已有的结论提出疑问，敢于抒发自己的不同意见，敢于通过自己的探索去“发现”知识。要通过课内老师指引下的研究性学习，以及课外自订题目、独立进行的研究性的探索，体验知识的发现过程，学会学习，学会思考，学会求异，学会创新。要知道，科学的发展离不开创造，要想将来在科学上有所建树，是离不开创造性思维的。今天具有创新性的学习精神，他日就能在国家的社会主义建设中，抢占科技发展高级领域中的“制高点”，进而控制一大片的开阔地带，成为攀登科技高峰的优秀人才。

感悟数学——读《从一到无穷大》有感曾听一位奥数老师说过这么一句话：学数学，就犹如鱼与网；会解一道题，就犹如捕捉到了一条鱼，掌握了一种解题方法，就犹如拥有了一张网；所以，“学数学”与“学好数学”的区别就在与你是拥有了一条鱼，还是拥有了一张网。数学，是一门非常讲究思考的课程，逻辑性很强，所以，总会让人产生错觉。数学中的几何图形是很有趣的，每一个图形都互相依存，但也各有千秋。例如圆。计算圆的面积的公式是s=πr²，因为半径不同，所以我们经常会犯一些错。例如，“一个半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼等于一个半径为15厘米的比萨饼”，在命题上，这道题目先迷惑大家，让人产生错觉，巧妙地运用了圆的面积公式，让人产生了一个错误的天平。其实，半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼并不等于一个半径为15厘米的比萨饼，因为半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼的面积是s=πr²=9²π+6²π=117π，而半径为15厘米的比萨饼的面积是s=πr²=15²π=225π，所以，半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼是不等于一个半径为15厘米的比萨饼的。数学，就像一座高峰，直插云霄，刚刚开始攀登时，感觉很轻松，但我们爬得越高，山峰就变得越陡，让人感到恐惧，这时候，只有真正喜爱数学的人才会有勇气继续攀登下去，所以，站在数学的高峰上的人，都是发自内心喜欢数学的。记住，站在峰脚的人是望不到峰顶的。