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证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。
那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a
则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，
那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，
又因为AC·AB=|AC|*|AB|*cosA，
a^2=b^2+c^2-2bccosA。
同理可用向量证明得到，
b^2=a^2+c^2-2bccosB，
c^2=b^2+a^2-2bccosC。
上述即用向量证明了三角形的余弦定理。
扩展资料：
1、向量的运算
对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。
（1）数量积
对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么
a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。
a·b=|a|·|b|·cosA，
（2）向量的加法
a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)
（3）向量的减法
a+(-b)=a-b
2、正弦定理应用
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。
且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。
参考资料来源：百度百科-向量
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（ 1 ）∠ A> ∠ C> ∠ B （ 2 ）在∠ ACB 内截取∠ 1= ∠ B ，交 AB 于 D ，（或者其他辅助线的添法也可）… 2 分 ∵ ∠ 1= ∠ B ∴ BD=CD … 4 分 又∵ CD+AD>AC ∴ AB=AD+BD=AD+CD>AC … 6 分 （用轴对称证明可酌情给分） （ 3 ）是锐角 三角形，因为在一个三角形中最大的边所对的角是最大的，当最大的角是锐角时，另两个角肯定也是锐角 ，所以它一定是锐角三角形。
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三角形重心的性质2:1如下：
△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。求证：EG=1/2CG。证明：过E作EH‖BF交AC于H。∵AE=BE，EH//BF；∴AH=HF=1/2AF。又∵AF=CF；∴HF=1/2CF。∴HF:CF=1/2。∵EH‖BF；∴EG:CG=HF:CF=1/2。∴EG=1/2CG。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
三角形ABC中,向量AB+BC=AC 两边平方, AB^2+BC^2+2AB·BC=AC^2 注意:向量AB与BC夹角是角B的补角,所以 2AB·BC=2|AB
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钮咕噜嘟嘟 4人参与回答 2023-12-11 
